Структура полупростых алгебр сводится к описанию простых алгебр. Под простой алгеброй понимается конечномерная ассоциативная алгебра над полем $\mathbb{K}$ с ненулевым умножением, не имеющая нетривиальных двусторонних идеалов. (Условие на умножение исключает нульмерную и одномерную нильпотентную алгебру.) Всякая простая алгебра $A$ полупроста: в противном случае $A=\operatorname{Rad}A$ была бы нильпотентной, но тогда $A^2\ne A\implies A^2=0$, что противоречит условию на умножение.

Пример. Алгебра квадратных матриц $\operatorname{Mat}_n(D)$ над конечномерной алгеброй с делением $D$ над полем $\mathbb{K}$ проста (задача 7.1).

Алгебру $\operatorname{Mat}_n(D)$ можно интерпретировать как алгебру $L_D(V)$ линейных операторов на $n$-мерном правом векторном пространстве $V$ над телом $D$. Как и в случае матриц над полем, доказывается, что алгебра $\operatorname{Mat}_n(D)\simeq L_D(V)$ обладает единственным, с точностью до изоморфизма, неприводимым линейным представлением над полем $\mathbb{K}$, а именно, естественным представлением в пространстве столбцов $D^n\simeq V$ умножениями слева (его неприводимость следует из транзитивности действия группы обратимых $D$-линейных операторов на множестве ненулевых векторов). Вместо правого векторного пространства $V$ можно рассматривать и левое, но тогда алгебра $\operatorname{Mat}_n(D)$ противоположна алгебре $L_D(V)$ и действует на пространстве $V$, отождествляемом с пространством строк $D^n$, умножениями справа (см. задачу 7.2).

Напомним, что линейное представление (группы или алгебры) называется вполне приводимым, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное дополнительное подпространство. Следующий общий факт теории представлений мы для простоты сформулируем для конечномерных представлений ассоциативных алгебр (хотя он имеет место и в других категориях представлений).

Предложение 1. Линейное представление $R:A\to L(V)$ вполне приводимо тогда и только тогда, когда $V=V_1+\dots+V_m$, где $V_i$ — инвариантные подпространства и ограничения представления $R$ на $V_i$ неприводимы.

В одну сторону доказательство ведётся индукцией по $\dim V$; оно основано на том обстоятельстве, что свойство полной приводимости наследуется ограничением представления на инвариантное подпространство. При этом в итоге получается даже разложение в прямую сумму минимальных инвариантных подпространств, т.е. разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых представлений.

В обратную сторону утверждение доказывается так: для произвольного инвариантного подпространства $U\subset V$ рассмотрим максимальную подсумму $W=V_{i_1}+\dots+V_{i_k}$, пересекающую $U$ тривиально. Тогда $V=U\oplus W$, поскольку для любого $i\ne i_1,\dots,i_k$ имеем $U\cap(W+V_i)\ne0$, а значит, и $(U\oplus W)\cap V_i\ne0$, откуда $V_i\subset U\oplus W$.

Если $R:A\to L(V)$ — неприводимое линейное представление, то по лемме Шура его кольцо эндоморфизмов $\operatorname{End}(R)$ — алгебра с делением над $\mathbb{K}$. Тогда $V$ можно рассматривать как правое векторное пространство над алгеброй с делением $D=\operatorname{End}(R)^{\text{op}}$, и наше представление есть гомоморфизм $R:A\to L_D(V)$.

Теорема Бернсайда. Если $R:A\to L(V)$ — ненулевое неприводимое конечномерное линейное представление ассоциативной алгебры, то $R(A)=L_D(V)$.

Доказательство. Заменив $A$ на $R(A)$, можно без ограничения общности считать, что $A\subseteq L_D(V)$. Для равенства $A=L_D(V)$ достаточно доказать, что для любого набора линейно независимых над $D$ векторов $e_1,\dots,e_n\in V$ и любого набора $v_1,\dots,v_n\in V$ существует такой $a\in A$, что $ae_i=v_i$ $(i=1,\dots,n)$. Другими словами, $V\oplus\dots\oplus V=A\cdot(e_1,\dots,e_n)$.

Докажем этот факт индукцией по $n$. При $n=1$ утверждение вытекает из неприводимости представления: $Ae_1$ — ненулевое инвариантное подпространство в $V$ (если бы $Ae_1=0$, то инвариантной была бы прямая $\langle e_1\rangle$, и тем самым $V=\langle e_1\rangle$ и $A=0$).

В общем случае разложим $V^n=V\oplus\dots\oplus V$ ($n$ слагаемых) в виде $V^n=V^{n-1}\oplus V$ и рассмотрим проекцию $\pi:W\to V^{n-1}$ инвариантного подпространства $W=A\cdot(e_1,\dots,e_n)\subseteq V^n$ на первое слагаемое. По предположению индукции, $\pi$ сюръективна, а $\operatorname{Ker}\pi=W\cap V_n$ — пересечение с последним слагаемым $V_n=V$ в разложении $V^n$.

Если $W\cap V_n=0$, то $W$ проектируется на $V^{n-1}$ изоморфно, и возникает гомоморфизм линейных представлений $\varphi=\tau\pi^{-1}:V^{n-1}\to V$, где $\tau:W\to V$ — проекция на $V_n$ в разложении $V^n$. Ограничение $\varphi$ на каждое прямое слагаемое $V$ в $V^{n-1}$ есть правое умножение на некоторый элемент из $D$, откуда $\varphi(v_1,\dots,v_{n-1})=v_1\delta_1+\dots+v_{n-1}\delta_{n-1}$ для некоторых $\delta_1,\dots,\delta_{n-1}\in D$.

Заметим, что $W\ni(e_1,\dots,e_n)$: иначе $W$ имело бы в $\widetilde{W}=A\cdot(e_1,\dots,e_n)+\mathbb{K}\cdot(e_1,\dots,e_n)$ одномерное инвариантное дополнение $U$, которое бы по лемме Шура изоморфно проектировалось на одно из прямых слагаемых $V$ в $V^n$, но тогда $\dim V=1$ и $A=\mathbb{K}$. Следовательно, $e_n=\varphi(e_1,\dots,e_{n-1})$ линейно (над $D$) выражается через $e_1,\dots,e_{n-1}$, что противоречит условию.

Значит, $W\supset V_n$, и тогда $W=V^n$, что и требовалось доказать.

Из теоремы Бернсайда вытекает описание простых алгебр.

Теорема Веддербёрна. Всякая простая алгебра $A$ изоморфна алгебре матриц $\operatorname{Mat}_n(D)$ над некоторой алгеброй с делением $D$.

Для доказательства достаточно взять какое-нибудь ненулевое неприводимое представление $R:A\to L(V)$ (см. задачу 7.4) и применить к нему теорему Бернсайда, заметив, что $\operatorname{Ker}R=0$ в силу простоты алгебры $A$.

Возвращаясь к полупростым алгебрам, получаем их полное описание.

Теорема Веддербёрна-Артина. Алгебра $A$ полупроста тогда и только тогда, когда она изоморфна прямой сумме матричных алгебр над алгебрами с делением: $$A\simeq\operatorname{Mat}_{n_1}(D_1)\oplus\dots\oplus\operatorname{Mat}_{n_s}(D_s).$$

В одну сторону утверждение следует из разложения полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр и теоремы Веддербёрна, а в обратную сторону — из задачи 7.6.

Ещё один полезный критерий полупростоты носит теоретико-представленческий характер.

Предложение 2. Алгебра $A$ полупроста тогда и только тогда, когда все её линейные представления вполне приводимы. При этом, в обозначениях теоремы Веддербёрна-Артина, все её неприводимые представления суть естественные представления простых идеалов $\operatorname{Mat}_{n_i}(D_i)$ в пространствах столбцов $D_i^{n_i}$ (остальные простые идеалы действуют нулём).

Доказательство. Если $A$ полупроста, то она разлагается в прямую сумму матричных алгебр $\operatorname{Mat}_{n_i}(D_i)$, а каждая из них — в прямую сумму своих минимальных левых идеалов, изоморфных $D_i^{n_i}$. Следовательно, имеется разложение $A=J_1\oplus\dots\oplus J_m$ в прямую сумму минимальных левых идеалов.

Пусть $R:A\to L(V)$ — произвольное линейное представление. Хотя алгебра $A$ содержит единицу, мы не предполагаем изначально, что $R(1)=E$, но можем так считать без ограничения общности по задаче 7.5. Если $e_1,\dots,e_n$ — базис пространства $V$, то $V=R(A)V=\sum_{k,j}R(J_k)e_j$ — сумма инвариантных подпространств, и каждое $R(J_k)e_j$ — либо нулевое, либо изоморфно $J_k$, по лемме Шура. Теперь полная приводимость следует из предложения 1, а описание неприводимых представлений — из сказанного выше.

Обратно, радикал $N=\operatorname{Rad}A$ произвольной алгебры $A$ действует нулём в любом неприводимом представлении $R$: $$R(N)^n=0\implies R(N)V\ne V\implies R(N)V=0.$$ Если все линейные представления вполне приводимы, то $N$ действует нулём в любом представлении, и взяв точное линейное представление (задача 7.3), получим $N=0$.

предыдущий семинар	3 апреля 2020 г.	следующий семинар
Тема 7 Простые ассоциативные алгебры Структура полупростых алгебр сводится к описанию простых алгебр. Под простой алгеброй понимается конечномерная ассоциативная алгебра над полем $\mathbb{K}$ с ненулевым умножением, не имеющая нетривиальных двусторонних идеалов. (Условие на умножение исключает нульмерную и одномерную нильпотентную алгебру.) Всякая простая алгебра $A$ полупроста: в противном случае $A=\operatorname{Rad}A$ была бы нильпотентной, но тогда $A^2\ne A\implies A^2=0$, что противоречит условию на умножение. Пример. Алгебра квадратных матриц $\operatorname{Mat}_n(D)$ над конечномерной алгеброй с делением $D$ над полем $\mathbb{K}$ проста (задача 7.1). Алгебру $\operatorname{Mat}_n(D)$ можно интерпретировать как алгебру $L_D(V)$ линейных операторов на $n$-мерном правом векторном пространстве $V$ над телом $D$. Как и в случае матриц над полем, доказывается, что алгебра $\operatorname{Mat}_n(D)\simeq L_D(V)$ обладает единственным, с точностью до изоморфизма, неприводимым линейным представлением над полем $\mathbb{K}$, а именно, естественным представлением в пространстве столбцов $D^n\simeq V$ умножениями слева (его неприводимость следует из транзитивности действия группы обратимых $D$-линейных операторов на множестве ненулевых векторов). Вместо правого векторного пространства $V$ можно рассматривать и левое, но тогда алгебра $\operatorname{Mat}_n(D)$ противоположна алгебре $L_D(V)$ и действует на пространстве $V$, отождествляемом с пространством строк $D^n$, умножениями справа (см. задачу 7.2). Напомним, что линейное представление (группы или алгебры) называется вполне приводимым, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное дополнительное подпространство. Следующий общий факт теории представлений мы для простоты сформулируем для конечномерных представлений ассоциативных алгебр (хотя он имеет место и в других категориях представлений). Предложение 1. Линейное представление $R:A\to L(V)$ вполне приводимо тогда и только тогда, когда $V=V_1+\dots+V_m$, где $V_i$ — инвариантные подпространства и ограничения представления $R$ на $V_i$ неприводимы. В одну сторону доказательство ведётся индукцией по $\dim V$; оно основано на том обстоятельстве, что свойство полной приводимости наследуется ограничением представления на инвариантное подпространство. При этом в итоге получается даже разложение в прямую сумму минимальных инвариантных подпространств, т.е. разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых представлений. В обратную сторону утверждение доказывается так: для произвольного инвариантного подпространства $U\subset V$ рассмотрим максимальную подсумму $W=V_{i_1}+\dots+V_{i_k}$, пересекающую $U$ тривиально. Тогда $V=U\oplus W$, поскольку для любого $i\ne i_1,\dots,i_k$ имеем $U\cap(W+V_i)\ne0$, а значит, и $(U\oplus W)\cap V_i\ne0$, откуда $V_i\subset U\oplus W$. Если $R:A\to L(V)$ — неприводимое линейное представление, то по лемме Шура его кольцо эндоморфизмов $\operatorname{End}(R)$ — алгебра с делением над $\mathbb{K}$. Тогда $V$ можно рассматривать как правое векторное пространство над алгеброй с делением $D=\operatorname{End}(R)^{\text{op}}$, и наше представление есть гомоморфизм $R:A\to L_D(V)$. Теорема Бернсайда. Если $R:A\to L(V)$ — ненулевое неприводимое конечномерное линейное представление ассоциативной алгебры, то $R(A)=L_D(V)$. Доказательство. Заменив $A$ на $R(A)$, можно без ограничения общности считать, что $A\subseteq L_D(V)$. Для равенства $A=L_D(V)$ достаточно доказать, что для любого набора линейно независимых над $D$ векторов $e_1,\dots,e_n\in V$ и любого набора $v_1,\dots,v_n\in V$ существует такой $a\in A$, что $ae_i=v_i$ $(i=1,\dots,n)$. Другими словами, $V\oplus\dots\oplus V=A\cdot(e_1,\dots,e_n)$. Докажем этот факт индукцией по $n$. При $n=1$ утверждение вытекает из неприводимости представления: $Ae_1$ — ненулевое инвариантное подпространство в $V$ (если бы $Ae_1=0$, то инвариантной была бы прямая $\langle e_1\rangle$, и тем самым $V=\langle e_1\rangle$ и $A=0$). В общем случае разложим $V^n=V\oplus\dots\oplus V$ ($n$ слагаемых) в виде $V^n=V^{n-1}\oplus V$ и рассмотрим проекцию $\pi:W\to V^{n-1}$ инвариантного подпространства $W=A\cdot(e_1,\dots,e_n)\subseteq V^n$ на первое слагаемое. По предположению индукции, $\pi$ сюръективна, а $\operatorname{Ker}\pi=W\cap V_n$ — пересечение с последним слагаемым $V_n=V$ в разложении $V^n$. Если $W\cap V_n=0$, то $W$ проектируется на $V^{n-1}$ изоморфно, и возникает гомоморфизм линейных представлений $\varphi=\tau\pi^{-1}:V^{n-1}\to V$, где $\tau:W\to V$ — проекция на $V_n$ в разложении $V^n$. Ограничение $\varphi$ на каждое прямое слагаемое $V$ в $V^{n-1}$ есть правое умножение на некоторый элемент из $D$, откуда $\varphi(v_1,\dots,v_{n-1})=v_1\delta_1+\dots+v_{n-1}\delta_{n-1}$ для некоторых $\delta_1,\dots,\delta_{n-1}\in D$. Заметим, что $W\ni(e_1,\dots,e_n)$: иначе $W$ имело бы в $\widetilde{W}=A\cdot(e_1,\dots,e_n)+\mathbb{K}\cdot(e_1,\dots,e_n)$ одномерное инвариантное дополнение $U$, которое бы по лемме Шура изоморфно проектировалось на одно из прямых слагаемых $V$ в $V^n$, но тогда $\dim V=1$ и $A=\mathbb{K}$. Следовательно, $e_n=\varphi(e_1,\dots,e_{n-1})$ линейно (над $D$) выражается через $e_1,\dots,e_{n-1}$, что противоречит условию. Значит, $W\supset V_n$, и тогда $W=V^n$, что и требовалось доказать. Из теоремы Бернсайда вытекает описание простых алгебр. Теорема Веддербёрна. Всякая простая алгебра $A$ изоморфна алгебре матриц $\operatorname{Mat}_n(D)$ над некоторой алгеброй с делением $D$. Для доказательства достаточно взять какое-нибудь ненулевое неприводимое представление $R:A\to L(V)$ (см. задачу 7.4) и применить к нему теорему Бернсайда, заметив, что $\operatorname{Ker}R=0$ в силу простоты алгебры $A$. Возвращаясь к полупростым алгебрам, получаем их полное описание. Теорема Веддербёрна-Артина. Алгебра $A$ полупроста тогда и только тогда, когда она изоморфна прямой сумме матричных алгебр над алгебрами с делением: $$A\simeq\operatorname{Mat}_{n_1}(D_1)\oplus\dots\oplus\operatorname{Mat}_{n_s}(D_s).$$ В одну сторону утверждение следует из разложения полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр и теоремы Веддербёрна, а в обратную сторону — из задачи 7.6. Ещё один полезный критерий полупростоты носит теоретико-представленческий характер. Предложение 2. Алгебра $A$ полупроста тогда и только тогда, когда все её линейные представления вполне приводимы. При этом, в обозначениях теоремы Веддербёрна-Артина, все её неприводимые представления суть естественные представления простых идеалов $\operatorname{Mat}_{n_i}(D_i)$ в пространствах столбцов $D_i^{n_i}$ (остальные простые идеалы действуют нулём). Доказательство. Если $A$ полупроста, то она разлагается в прямую сумму матричных алгебр $\operatorname{Mat}_{n_i}(D_i)$, а каждая из них — в прямую сумму своих минимальных левых идеалов, изоморфных $D_i^{n_i}$. Следовательно, имеется разложение $A=J_1\oplus\dots\oplus J_m$ в прямую сумму минимальных левых идеалов. Пусть $R:A\to L(V)$ — произвольное линейное представление. Хотя алгебра $A$ содержит единицу, мы не предполагаем изначально, что $R(1)=E$, но можем так считать без ограничения общности по задаче 7.5. Если $e_1,\dots,e_n$ — базис пространства $V$, то $V=R(A)V=\sum_{k,j}R(J_k)e_j$ — сумма инвариантных подпространств, и каждое $R(J_k)e_j$ — либо нулевое, либо изоморфно $J_k$, по лемме Шура. Теперь полная приводимость следует из предложения 1, а описание неприводимых представлений — из сказанного выше. Обратно, радикал $N=\operatorname{Rad}A$ произвольной алгебры $A$ действует нулём в любом неприводимом представлении $R$: $$R(N)^n=0\implies R(N)V\ne V\implies R(N)V=0.$$ Если все линейные представления вполне приводимы, то $N$ действует нулём в любом представлении, и взяв точное линейное представление (задача 7.3), получим $N=0$. Задачи Задача 7.1. Пусть $A$ — ассоциативная алгебра с единицей. Доказать, что всякий идеал в алгебре матриц $\operatorname{Mat}_n(A)$ имеет вид $\operatorname{Mat}_n(I)$, где $I\lhd A$. Задача 7.2. Пусть $A$ — ассоциативная алгебра. Тогда $\operatorname{Mat}_n(A)^{\text{op}} \simeq\operatorname{Mat}_n(A^{\text{op}})$. Задача 7.3. У всякой ассоциативной алгебры $A$ существует точное линейное представление. Указание: для алгебр с единицей подойдёт регулярное представление, а в общем случае единицу можно искусственно присоединить. Задача 7.4. У всякой простой алгебры $A$ существует точное неприводимое представление (доказать, не опираясь на теорему Веддербёрна). Указание: рассмотреть максимальный левый идеал $J\subset A$ и представление в факторпространстве $A/J$ умножениями слева. Задача 7.5. Если $A$ — алгебра с единицей, то для любого линейного представления $R:A\to L(V)$ есть разложение в прямую сумму инвариантных подпространств $V=V_0\oplus V_1$, где $A$ действует нулём на $V_0$ и $R(1)$ действует на $V_1$ как единичный оператор. Задача 7.6. Прямая сумма полупростых алгебр полупроста (доказать непосредственно, не опираясь на теорему Веддербёрна-Артина).