Определение 1. Группа $G$ движений $n$-мерного евклидова аффинного пространства $\mathbb{E}^n$ называется дискретной, если для любой точки $p\in\mathbb{E}^n$ и любого $r>0$ множество $\{g\in G\mid\rho(p,gp)< r\}$ конечно. (Здесь $\rho(\cdot,\cdot)$ обозначает расстояние между точками.)

Очевидно, что всякая конечная группа движений дискретна. Общий критерий дискретности группы движений содержится в задаче 8.1.

Частным случаем движений являются отражения относительно гиперплоскостей. Мы будем их называть просто отражениями. Отражение относительно гиперплоскости $H$ будет обозначаться через $r_H$, а сама гиперплоскость $H$ будет называться зеркалом этого отражения.

Всякую группу движений $G$, порождённую отражениями, будем для краткости называть просто группой отражений (хотя она состоит не только из отражений). Из задачи 8.2 следует, что совокупность зеркал отражений из группы $G$ инвариантна относительно действия этой группы.

Пусть $G$ — дискретная группа отражений. Из задачи 8.5 следует, что зеркала группы $G$ разбивают пространство $\mathbb{E}^n$ на выпуклые многогранники (которые могут быть неограниченными). Эти многогранники называются камерами группы $G$. (Мы считаем их замкнутыми).

Определение 2. Выпуклый многогранник, все двугранные углы которого имеют вид $\pi/m$ ($m\in\mathbb{N}$), называется многогранником Кокстера.

Лемма 1. Камеры дискретной группы отражений являются многогранниками Кокстера.

Если двугранный угол между стенками $H_i$ и $H_j$ многогранника Кокстера равен $\pi/m_{ij}$, то для сответствующих отражений $r_i$ и $r_j$ выполнены соотношения $$\tag{1} (r_ir_j)^{m_{ij}}=e. $$ (см. задачу 8.4).

Группа $G$ естественным образом действует на множестве своих камер.

Камеры, имеющие общую стенку, называются смежными. Очевидно, что такие камеры переставляются друг с другом при отражении относительно их общей стенки. Любые две камеры $C_0$ и $C$ можно соединить цепочкой камер $$\tag{2} C_0, C_1, C_2, \dots , C_{k-1}, C_k=C, $$ в которой камеры $C_{i-1}$ и $C_i$ смежны при любом $i$. Отсюда следует, что группа $G$ транзитивно действует на множестве своих камер.

Лемма 2. Существуют такие отражения $r_1,r_2,\dots,r_k$ относительно стенок камеры $C_0$, что $$\tag{3} C_i=r_1r_2\cdots r_iC_0\quad\text{при любом}\quad i=1,2,\dots,k. $$

Лемма 3. Группа $G$ порождается отражениями относительно стенок любой фиксированной камеры $C_0$.

Теорема. Группа $G$ действует на множестве своих камер просто транзитивно.

Доказательство. Достаточно доказать, что стабилизатор камеры $C_0$ тривиален. Допустим, что он содержит элемент $g=r_1r_2\cdots r_k$, где $r_1,r_2.\dots,r_k$ — отражения относительно каких-то стенок камеры $C_0$ (возможно, повторяющиеся), и рассмотрим цепочку камер (2), определённую по формулам (3), в которой $C=C_0$.

Рассмотрим замкнутый непрерывный путь $\gamma$ с началом (и концом) во внутренней точке камеры $C_0$, который проходит последовательно через камеры нашей цепочки, пересекая их обшие стенки, но не задевая других стенок. Стянем этот путь в точку, не задевая $(n-3)$-мерных граней камер. В процессе стягивания будут происходить перестройки нашей цепочки камер следующих двух типов:

вначале путь заходил из какой-то камеры в смежную камеру и сразу возвращался обратно, а потом перестал это делать, или наоборот;
вначале путь частично обходил какую-то $(n-2)$-мерную грань камеры в одном направлении, а потом стал это делать в другом направлении.

Этим перестройкам нашей цепочки камер отвечают следующие перестройки последовательности отражений $r_1,r_2,\dots,r_k$:

выкидывание или вставление двух последовательных одинаковых отражений;
замена отрезка последовательности вида $r,s,r,\dots$ длины $l$ отрезком вида $s,r,s,\dots$ длины $2m-l$, где $(rs)^m=e$.

В обоих случаях произведение отражений нашей последовательности не меняется. В итоге мы получим цепочку, состоящую из одной камеры $C_0$, которой отвечает пустое произведение отражений, равное $e$. Это означает, что $g=e$. Тем самым теорема доказана.

Замечания. 1) На самом деле мы доказали, что элемент $g$ равен $e$ в силу соотношений вида $r_i^2=e$ и соотношений (1). Это означает, что указанные соотношения являются определяющими соотношениями группы $G$.

2) При построении разбиения пространства $\mathbb{E}^n$ на камеры, вместо всех зеркал группы $G$ можно было рассматривать только зеркала порождающих отражений и гиперплоскости, получаемые из них действием группы $G$ (т.е. зеркала всех сопряжённых отражений, по задаче 8.2). Все дальнейшие рассмотрения, включая теорему и её доказательство, проходят без всяких изменений. Из этого, в частности, следует, что никаких других зеркал и никаких других отражений (кроме сопряжённых к порождающим отражениям) в группе $G$ нет — в противном случае такое новое зеркало $H$ пересекало бы внутренность какой-нибудь камеры $C$, и при отражении $r_H$ камера $C$ должна была бы перейти в себя вопреки доказанной теореме.

3) Если точка $p\in C_0$ не является внутренней и принадлежит ещё какой-нибудь камере $C$, то можно построить цепочку камер (2), которые все содержат $p$. Поэтому единственный элемент $g\in G$, для которого $C=gC_0$, является произведением отражений, зеркала которых содержат $p$. В частности, $gp=p$.

Следствие 1. Стабилизатор точки $p\in C_0$ в группе $G$ порождён отражениями относительно стенок камеры $C_0$, содержащих $p$.

Оно доказывается аналогично лемме 3 с учётом того, что достаточно рассматривать только камеры, содержащие $p$, и отражения относительно их стенок, содержащих $p$.

Следствие 2. Всякая $G$-орбита в пространстве $\mathbb{E}^n$ пересекает $C_0$ в единственной точке.

Доказательство. Если $p,gp\in C_0$, то $q=gp\in C_0\cap gC_0$, откуда $gq=q$, а значит, и $gp=p$.

Задача 8.1. Группа движений дискретна тогда и только тогда, когда все её орбиты дискретны и стабилизаторы всех точек конечны.

Задача 8.2. $g\,r_H\,g^{-1}=r_{gH}$ для любого движения $g$.

Задача 8.3. Пусть $H_1,H_2$ — различные гиперплоскости. Доказать, что произведение $r_{H_1}r_{H_2}$ является
а) поворотом вокруг $H_1\cap H_2$ на удвоенный угол между $H_1$ и $H_2$, если эти гиперплоскости пересекаются;
б) параллельным переносом вдоль их общего перпендикуляра на удвоенное расстояние между ними, если они параллельны.

Задача 8.4. Группа $G$, порождённая отражениями $r_{H_1}$ и $r_{H_2}$ относительно двух пересекающихся гиперплоскостей, дискретна тогда и только тогда, когда угол между $H_1$ и $H_2$ соизмерим с $\pi$. При этом условии группа $G$ конечна и изоморфна группе диэдра $D_m$; более точно, она порождается двумя отражениями $r_1$ и $r_2$ относительно гиперплоскостей, угол между которыми равен $\pi/m$, причём выполнено соотношение $(r_1r_2)^m=e$.

Задача 8.5. Любой компакт $K\subset\mathbb{E}^n$ пересекается лишь с конечным числом зеркал дискретной группы отражений $G$.

Задача 8.6. Доказать лемму 1.

Задача 8.7. Доказать лемму 2.

Задача 8.8. Доказать лемму 3.

Задача 8.9. Доказать утверждение о перестройке последовательности отражений.

предыдущий семинар	10 апреля 2020 г.	следующий семинар
Тема 8 Дискретные группы отражений Определение 1. Группа $G$ движений $n$-мерного евклидова аффинного пространства $\mathbb{E}^n$ называется дискретной, если для любой точки $p\in\mathbb{E}^n$ и любого $r>0$ множество $\{g\in G\mid\rho(p,gp)< r\}$ конечно. (Здесь $\rho(\cdot,\cdot)$ обозначает расстояние между точками.) Очевидно, что всякая конечная группа движений дискретна. Общий критерий дискретности группы движений содержится в задаче 8.1. Частным случаем движений являются отражения относительно гиперплоскостей. Мы будем их называть просто отражениями. Отражение относительно гиперплоскости $H$ будет обозначаться через $r_H$, а сама гиперплоскость $H$ будет называться зеркалом этого отражения. Всякую группу движений $G$, порождённую отражениями, будем для краткости называть просто группой отражений (хотя она состоит не только из отражений). Из задачи 8.2 следует, что совокупность зеркал отражений из группы $G$ инвариантна относительно действия этой группы. Пусть $G$ — дискретная группа отражений. Из задачи 8.5 следует, что зеркала группы $G$ разбивают пространство $\mathbb{E}^n$ на выпуклые многогранники (которые могут быть неограниченными). Эти многогранники называются камерами группы $G$. (Мы считаем их замкнутыми). Определение 2. Выпуклый многогранник, все двугранные углы которого имеют вид $\pi/m$ ($m\in\mathbb{N}$), называется многогранником Кокстера. Лемма 1. Камеры дискретной группы отражений являются многогранниками Кокстера. Если двугранный угол между стенками $H_i$ и $H_j$ многогранника Кокстера равен $\pi/m_{ij}$, то для сответствующих отражений $r_i$ и $r_j$ выполнены соотношения $$\tag{1} (r_ir_j)^{m_{ij}}=e. $$ (см. задачу 8.4). Группа $G$ естественным образом действует на множестве своих камер. Камеры, имеющие общую стенку, называются смежными. Очевидно, что такие камеры переставляются друг с другом при отражении относительно их общей стенки. Любые две камеры $C_0$ и $C$ можно соединить цепочкой камер $$\tag{2} C_0, C_1, C_2, \dots , C_{k-1}, C_k=C, $$ в которой камеры $C_{i-1}$ и $C_i$ смежны при любом $i$. Отсюда следует, что группа $G$ транзитивно действует на множестве своих камер. Лемма 2. Существуют такие отражения $r_1,r_2,\dots,r_k$ относительно стенок камеры $C_0$, что $$\tag{3} C_i=r_1r_2\cdots r_iC_0\quad\text{при любом}\quad i=1,2,\dots,k. $$ Лемма 3. Группа $G$ порождается отражениями относительно стенок любой фиксированной камеры $C_0$. Теорема. Группа $G$ действует на множестве своих камер просто транзитивно. Доказательство. Достаточно доказать, что стабилизатор камеры $C_0$ тривиален. Допустим, что он содержит элемент $g=r_1r_2\cdots r_k$, где $r_1,r_2.\dots,r_k$ — отражения относительно каких-то стенок камеры $C_0$ (возможно, повторяющиеся), и рассмотрим цепочку камер (2), определённую по формулам (3), в которой $C=C_0$. Рассмотрим замкнутый непрерывный путь $\gamma$ с началом (и концом) во внутренней точке камеры $C_0$, который проходит последовательно через камеры нашей цепочки, пересекая их обшие стенки, но не задевая других стенок. Стянем этот путь в точку, не задевая $(n-3)$-мерных граней камер. В процессе стягивания будут происходить перестройки нашей цепочки камер следующих двух типов: вначале путь заходил из какой-то камеры в смежную камеру и сразу возвращался обратно, а потом перестал это делать, или наоборот; вначале путь частично обходил какую-то $(n-2)$-мерную грань камеры в одном направлении, а потом стал это делать в другом направлении. Этим перестройкам нашей цепочки камер отвечают следующие перестройки последовательности отражений $r_1,r_2,\dots,r_k$: выкидывание или вставление двух последовательных одинаковых отражений; замена отрезка последовательности вида $r,s,r,\dots$ длины $l$ отрезком вида $s,r,s,\dots$ длины $2m-l$, где $(rs)^m=e$. В обоих случаях произведение отражений нашей последовательности не меняется. В итоге мы получим цепочку, состоящую из одной камеры $C_0$, которой отвечает пустое произведение отражений, равное $e$. Это означает, что $g=e$. Тем самым теорема доказана. Замечания. 1) На самом деле мы доказали, что элемент $g$ равен $e$ в силу соотношений вида $r_i^2=e$ и соотношений (1). Это означает, что указанные соотношения являются определяющими соотношениями группы $G$. 2) При построении разбиения пространства $\mathbb{E}^n$ на камеры, вместо всех зеркал группы $G$ можно было рассматривать только зеркала порождающих отражений и гиперплоскости, получаемые из них действием группы $G$ (т.е. зеркала всех сопряжённых отражений, по задаче 8.2). Все дальнейшие рассмотрения, включая теорему и её доказательство, проходят без всяких изменений. Из этого, в частности, следует, что никаких других зеркал и никаких других отражений (кроме сопряжённых к порождающим отражениям) в группе $G$ нет — в противном случае такое новое зеркало $H$ пересекало бы внутренность какой-нибудь камеры $C$, и при отражении $r_H$ камера $C$ должна была бы перейти в себя вопреки доказанной теореме. 3) Если точка $p\in C_0$ не является внутренней и принадлежит ещё какой-нибудь камере $C$, то можно построить цепочку камер (2), которые все содержат $p$. Поэтому единственный элемент $g\in G$, для которого $C=gC_0$, является произведением отражений, зеркала которых содержат $p$. В частности, $gp=p$. Следствие 1. Стабилизатор точки $p\in C_0$ в группе $G$ порождён отражениями относительно стенок камеры $C_0$, содержащих $p$. Оно доказывается аналогично лемме 3 с учётом того, что достаточно рассматривать только камеры, содержащие $p$, и отражения относительно их стенок, содержащих $p$. Следствие 2. Всякая $G$-орбита в пространстве $\mathbb{E}^n$ пересекает $C_0$ в единственной точке. Доказательство. Если $p,gp\in C_0$, то $q=gp\in C_0\cap gC_0$, откуда $gq=q$, а значит, и $gp=p$. Задачи Задача 8.1. Группа движений дискретна тогда и только тогда, когда все её орбиты дискретны и стабилизаторы всех точек конечны. Задача 8.2. $g\,r_H\,g^{-1}=r_{gH}$ для любого движения $g$. Задача 8.3. Пусть $H_1,H_2$ — различные гиперплоскости. Доказать, что произведение $r_{H_1}r_{H_2}$ является а) поворотом вокруг $H_1\cap H_2$ на удвоенный угол между $H_1$ и $H_2$, если эти гиперплоскости пересекаются; б) параллельным переносом вдоль их общего перпендикуляра на удвоенное расстояние между ними, если они параллельны. Задача 8.4. Группа $G$, порождённая отражениями $r_{H_1}$ и $r_{H_2}$ относительно двух пересекающихся гиперплоскостей, дискретна тогда и только тогда, когда угол между $H_1$ и $H_2$ соизмерим с $\pi$. При этом условии группа $G$ конечна и изоморфна группе диэдра $D_m$; более точно, она порождается двумя отражениями $r_1$ и $r_2$ относительно гиперплоскостей, угол между которыми равен $\pi/m$, причём выполнено соотношение $(r_1r_2)^m=e$. Задача 8.5. Любой компакт $K\subset\mathbb{E}^n$ пересекается лишь с конечным числом зеркал дискретной группы отражений $G$. Задача 8.6. Доказать лемму 1. Задача 8.7. Доказать лемму 2. Задача 8.8. Доказать лемму 3. Задача 8.9. Доказать утверждение о перестройке последовательности отражений.