предыдущий семинар 17 апреля 2020 г. следующий семинар

Тема 9

Теорема существования и классификация дискретных групп отражений

Пусть $P\subset\mathbb{E}^n$ — любой многогранник Кокстера (не обязательно ограниченный) и $G$ — группа движений, порождённая отражениями относительно его стенок.

Теорема 1. Группа $G$ дискретна, и многогранник $P$ является её камерой.

Доказательство. По задаче 9.1, многогранники вида $gP$, $g\in G$, покрывают всё пространство $\mathbb{E}^n$.

Для любой последовательности отражений $r_1,r_2,\dots,r_k$ (возможно, повторяющихся) относительно стенок многогранника $P$ рассмотрим цепочку многогранников $P=C_0$, $C_1,\dots,C_k$, определяемых по формулам $$ C_i=r_1r_2\dots r_iC_0,\qquad \forall i=1,2,\dots,k. $$ Любые два соседних многогранника этой цепочки имеют общую стенку, относительно которой они симметричны. Априори более далекие члены цепочки могут частично перекрываться, т.е. иметь общие внутренние точки, но не совпадать. Однако если несколько последовательных членов цепочки имеют общую $(n-2)$-мерную грань, то они не перекрываются друг с другом (это вытекает из размеров двугранных углов).

Допустим, что многогранники $C_0$ и $C_k$ имеют общие внутренние точки, и рассмотрим замкнутый непрерывный путь $\gamma$ с началом (и концом) в такой точке, который проходит последовательно через многогранники нашей цепочки, пересекая их обшие стенки, но не задевая других стенок. Стянем этот путь в точку, не задевая $(n-3)$-мерных граней многогранников. Как и в доказательстве теоремы предыдущего семинара, в процессе стягивания будут происходить перестройки нашей цепочки многогранников и, соответственно, последовательности отражений $r_1,\dots,r_k$, при которых произведение $r_1r_2\cdots r_k$ не изменяется. В итоге получим пустую последовательность отражений. Это означает, что $r_1r_2\cdots r_k=e$ и $C_k=C_0$.

Таким образом, многогранники вида $gP$, $g\in G$, образуют разбиение пространства $\mathbb{E}^n$, причём группа $G$ действует на многогранниках этого разбиения просто транзитивно. В частности, зеркала группы $G$ не могут проходить через внутренние точки многогранников разбиения. Отcюда следуют утверждения теоремы.

Многогранники Кокстера являются частным случаем остроугольных многогранников — многогранников, у которых все двугранные углы не превосходят $\pi/2$. Изучим комбинаторное строение таких многогранников.

Замечание. Под двугранными углами выпуклого многогранника обычно понимают углы между его смежными гранями. Мы же будем понимать определение остроугольного многогранника $P$ таким образом, что если гиперплоскости каких-то двух его граней пересекаются, то угол между ними (содержащий многогранник $P$) не превосходит $\pi/2$. Этим свойством заведомо обладают камеры дискретной группы отражений, что доказывается так же, как в случае смежных граней (см. задачу 8.6). С другой стороны, можно доказать, что если все двугранные углы между смежными гранями выпуклого многогранника не превосходят $\pi/2$, то гиперплоскости его несмежных граней параллельны.

Определение. Система ненулевых векторов евклидова пространства называется тупоугольной, если все углы между ними не меньше, чем $\pi/2$, или, что эквивалентно, если все их попарные скалярные произведения неположительны.

В частности, система внешних нормалей остроугольного многогранника является тупоугольной.

Очевидно, что объединение двух ортогональных друг другу тупоугольных систем векторов является тупоугольной системой. Тупоугольная система векторов, которая не может быть получена таким образом, называется неразложимой. Всякая тупоугольная система векторов единственным образом представляется в виде объединения попарно ортогональных неразложимых тупоугольных систем.

Следущее утверждение является ключевым для всей теории.

Лемма 1. Всякая неразложимая тупоугольная система векторов либо линейно независима, либо удовлетворяет единственной с точностью до пропорциональности линейной зависимости с положительными коэффициентами.

Отсюда получается следующее описание остроугольных многогранников.

Лемма 2. Всякий остроугольный многогранник является прямым произведением остроугольных многогранников следующих типов:

  1. симплициальный конус;
  2. симплекс;
  3. всё пространство.

Под прямым произведением подмножеств $P\subseteq\mathbb{E}^k$ и $Q\subseteq\mathbb{E}^l$ здесь понимается подмножество $P\times Q\subseteq \mathbb{E}^k\times\mathbb{E}^l=\mathbb{E}^{k+l}$. Аналогично определяется прямое произведение нескольких подмножеств евклидовых пространств. Легко видеть, что прямое произведение выпуклых многогранников является выпуклым многограником. Например, прямое произведение нескольких отрезков (одномерных симплексов) — это прямоугольный параллелепипед. Прямое произведение симплициальных конусов — это также симплициальный конус.

Множители типа 3 появляются, если система внешних нормалей многогранника не порождает всего пространства. Например, полоса между параллельными прямыми на плоскости есть прямое произведение отрезка и прямой.

Задача 9.4 сводит классификацию многогранников Кокстера к классификации симплициальных конусов Кокстера (которым соответствуют конечные группы отражений) и симплексов Кокстера.

Симплициальные конусы можно описывать в терминах матриц Грама их единичных внешних нормалей (задача 9.5). В отличие от симплициальных конусов, для произвольных симплексов их описание в терминах матрицы Грама более сложно, но для остроугольных симплексов оно упрощается благодаря теореме Перрона-Фробениуса.

Симметричная матрица называется неразложимой, если путём перестановки строк и такой же перестановки столбцов она не может быть приведена к блочно-диагональному виду.

Теорема Перрона-Фробениуса (для симметричных матриц). Пусть $A$ — неразложимая симметричная матрица с неотрицательными элементами. Тогда максимальное собственное значение матрицы $A$ положительно, и ему отвечает собственный вектор с положительными координатами.

Доказательство. Рассмотрим $A$ как матрицу симметрического оператора в евклидовом векторном пространстве $\mathbb{R}^n$ со стандартным скалярным умножением. Как известно, этот оператор диагонализуем в некотором ортонормированном базисе. Если бы все его собственные значения были неположительны, то соответствующая квадратичная форма $q(x)=(x|Ax)$ была бы неположительна. Но, очевидно, $q(x)>0$ для вектора $x$ с положительными координатами (в стандартном базисе). Следовательно, максимальное собственное значение $\lambda$ положительно.

Перейдя в новую ортогональную систему координат, в которой наш оператор записывается диагональной матрицей, легко убедиться, что $$\lambda=\max_{x\ne0}\frac{(x|Ax)}{(x|x)},$$ причём равенство достигается в точности на собственных векторах с собственным значением $\lambda$. Для любого вектора $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ можно рассмотреть вектор $x^+=(|x_1|,\dots,|x_n|)$ — здесь координаты рассматриваются в исходном (стандартном) базисе. Легко видеть, что $(x^+|x^+)=(x|x)$ и $(x^+|Ax^+)\ge(x|Ax)$. Поэтому, если вектор $x$ был собственным для $A$ с собственным значением $\lambda$, то и $x^+$ таков же. Итак, собственному значению $\lambda$ отвечает собственный вектор $x$ с неотрицательными координатами (в стандартном базисе).

Предположим, что некоторые из его координат нулевые. Переставив координаты (при этом строки и столбцы матрицы $A$ переставятся соответствующим образом), можно считать, что $x_1,\dots,x_k>0$, а $x_{k+1},\dots,x_n=0$. Тогда из равенства $Ax=\lambda x$ и неотрицательности элементов матрицы $A$ следует, что она блочно-диагональна с размерами блоков $k\times k$ и $(n-k)\times(n-k)$. Это противоречие с неразложимостью завершает доказательство теоремы.


Задачи

Задача 9.1. Пусть $P$ — выпуклый многогранник. Тогда многогранники вида $gP$, где $g$ пробегает группу движений $G$, порождённую отражениями относительно стенок многогранника $P$, покрывают пространство $\mathbb{E}^n$.
Указание: доказать, что существует такое $\varepsilon>0$, что объединение многогранников $gP$, $g\in G$, содержит $\varepsilon$-окрестность многогранника $P$; свести доказательство к случаю, когда $P$ — выпуклый многогранный конус.

Задача 9.2. Доказать лемму 1.

Задача 9.3. Доказать лемму 2.

Задача 9.4. Доказать, что прямое произведение выпуклых многогранников является многогранником Кокстера тогда и только тогда, когда таковым является каждый множитель.

Задача 9.5. Симплициальный конус $P\subset\mathbb{E}^n$ с вершиной в начале координат с точностью до ортогонального преобразования определяется матрицей Грама $G(P)$ своих единичных внешних нормалей, каковой может быть любая положительно определённая симметричная матрица порядка $n$ с единицами на диагонали.

Задача 9.6. Найти все симплициальные конусы Кокстера в $\mathbb{E}^3$.

Задача 9.7. Найти все треугольники Кокстера.

Задача 9.8. Симплекс $P\subset\mathbb{E}^n$ с точностью до подобия определяется матрицей Грама $G(P)$ своих единичных внешних нормалей. При этом любая неразложимая неотрицательно определенная симметричная матрица $B$ порядка $n+1$ и ранга $n$ с единицами на диагонали и неположительными элементами вне диагонали является матрицей Грама некоторого остроугольного симплекса.
Указание: применить теорему Перрона-Фробениуса к матрице $A=E-B$.

Задача 9.9. Найти все тетраэдры Кокстера.