24 апреля и 1 мая 2020 г.

Тема 10

Эллиптические и параболические схемы Кокстера

Вместо матрицы Грама $G(P)$ системы единичных внешних нормалей многогранник Кокстера $P\subset\mathbb{E}^n$ удобно задавать его схемой Кокстера — графом, вершины которого соответствуют $(n-1)$-мерным граням многогранника и каждые две вершины соединяются $(m-2)$-кратным ребром или ребром с числовой отметкой $m$ (при большом $m$), если угол между соответствующими гранями (т.е. между гиперплоскостями, на которых грани лежат) равен $\frac{\pi}{m}$. В частности, если эти грани перпендикулярны, то соответствующие им вершины графа вообще не соединяются. Наконец, если грани параллельны, то соответствующие вершины соединяются жирным ребром (ребром «бесконечной кратности»).

По схеме Кокстера однозначно восстанавливается матрица Грама $G(P)$ и тем самым — многогранник $P$ с точностью до подобия (см. задачу 10.1).

Определение 1. Граф с кратными рёбрами называется эллиптической (соотв. параболической) схемой Кокстера, если он является схемой Кокстера симплициального конуса Кокстера (соотв. симплекса Кокстера).

Очевидно, что симплициальный конус Кокстера $C$ неразложим (в прямое произведение) тогда и только тогда, когда его схема Кокстера связна. В обшем случае неразложимым множителям конуса $C$ отвечают связные компоненты схемы Кокстера. Всякая параболическая схема Кокстера связна, так как симплекс является неразложимым многогранником.

Подсхемой схемы Кокстера будем называть всякое подмножество её вершин вместе со всеми соединяющими их рёбрами.

Определение 2. Рангом схемы Кокстера называется ранг соответствующей матрицы Грама (т.е. размерность соответствующего многогранника Кокстера в случае, когда его внешние нормали порождают пространство $\mathbb{E}^n$).

Ранг эллиптической (соотв. параболической) схемы Кокстера равен числу её вершин (соотв. на единицу меньше числа вершин).

Как устроены эллиптические и параболические схемы Кокстера?

Очевидно, что всякий граф с двумя вершинами является эллиптической схемой Кокстера ранга $2$ в случае ребра конечной кратности и параболической схемой Кокстера ранга $1$ в случае ребра бесконечной кратности.

Из задач 10.2 и 10.4 следует, что связная эллиптическая или параболическая схема Кокстера ранга $\geq 3$ не может содержать рёбер кратности $>3$.

При работе со схемами Кокстера часто бывает технически удобнее рассматривать не саму матрицу Грама соответствующей системы единичных векторов, описываемую данной схемой, а удвоенную матрицу Грама (на диагонали которой стоят двойки).

Некоторые примеры эллиптических и параболических схем Кокстера содержатся в задачах 10.5 и 10.6.

Эллиптические и параболические схемы Кокстера не могут содержать циклов, за одним исключением (см. задачу 10.7). Суммарная кратность рёбер, выходящих из каждой вершины эллиптической или параболической схемы Кокстера ранга $\geq 3$, не превосходит $4$ (задача 10.9).

Назовём особенностью схемы Кокстера кратное ребро или разветвление (вершину, соединённую более чем с двумя другими вершинами).

Эллиптические и параболические схемы Кокстера с более чем одной особенностью перечислены в задаче 10.10, а с одной особенностью в виде кратного ребра — в задаче 10.11.

Обозначим через $\mathsf{E}(k,l,m)$ граф с простыми рёбрами, представляющий собой звезду с тремя лучами длин $k,l,m$ (число вершин которого равно $k+l+m+1$). Графы этого типа, являющиеся эллиптическими или параболическими схемами Кокстера, перечислены в задаче 10.13.

Подытожим результаты классификации.

Теорема. Помимо схем с одной или двумя вершинами, связные эллиптические схемы Кокстера — это $\mathsf{A}_n$, $\mathsf{B}_n(=\mathsf{C}_n)$, $\mathsf{D}_n$, $\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$, $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{H}_3$, $\mathsf{H}_4$, а параболические схемы Кокстера — это $\widetilde{\mathsf{A}}_n$, $\widetilde{\mathsf{B}}_n$, $\widetilde{\mathsf{C}}_n$, $\widetilde{\mathsf{D}}_n$, $\widetilde{\mathsf{E}}_6$, $\widetilde{\mathsf{E}}_7$, $\widetilde{\mathsf{E}}_8$, $\widetilde{\mathsf{F}}_4$, $\widetilde{\mathsf{G}}_2$:

Эллиптическую схему Кокстера с двумя вершинами, соединёнными $3$-кратным ребром, обозначают через $\mathsf{H}_2$, a $4$-кратным ребром — через $\mathsf{G}_2$. С учётом этого, всякая параболическая схема Кокстера, обозначаемая как $\widetilde{\mathsf{L}}_n$ (где $\mathsf{L}$ — латинская буква от $\mathsf{A}$ до $\mathsf{G}$), получается из эллиптической схемы Кокстера, обозначенной как $\mathsf{L}_n$, добавлением одной вершины. (В частности, схема $\widetilde{\mathsf{A}}_1=\widetilde{\mathsf{I}}_1$ — это параболическая схема с двумя вершинами, соединёнными жирным ребром.)

Задачи

Задача 10.1. Две системы векторов евклидова пространства, имеющие одинаковые матрицы Грама, переводятся друг в друга подходящим ортогональным преобразованием.

Задача 10.2. Всякая подсхема эллиптической схемы Кокстера, а также всякая собственная подсхема параболической схемы Кокстера, является эллиптической схемой Кокстера.

Задача 10.3. Найти все параболические схемы Кокстера ранга $2$.

Задача 10.4. Найти все связные эллиптические схемы Кокстера ранга $3$.

Задача 10.5. Следующие графы являются эллиптическими схемами Кокстера ранга $n$: $\mathsf{A}_n$, $\mathsf{B}_n$ (она же $\mathsf{C}_n$), $\mathsf{D}_n$.
Указание: воспользоваться критерием Сильвестра или явно предъявить соответствующую систему векторов.

Задача 10.6. Следующие графы являются параболическими схемами Кокстера ранга $n$: $\widetilde{\mathsf{A}}_n$ $(n\geq 2)$, $\widetilde{\mathsf{B}}_n$, $\widetilde{\mathsf{C}}_n$, $\widetilde{\mathsf{D}}_n$.
Указание: воспользоваться задачей 9.8 или явно предъявить соответствующую систему векторов.

Задача 10.7. Если эллиптическая или параболическая схема Кокстера содержит цикл, то она является параболической схемой Кокстера типа $\widetilde{\mathsf{A}}_n$ ($n\geq 2$).
Указание: рассмотреть сумму векторов внешних нормалей, отвечающих вершинам цикла, и вычислить её скалярный квадрат.

Задача 10.8. При увеличении кратности любого концевого ребра эллиптической или параболической схемы Кокстера определитель матрицы Грама уменьшается.

Задача 10.9. Сумма кратностей рёбер, выходящих из вершины связной эллиптической или параболической схемы Кокстера ранга $\geq 3$, не превосходит $4$, причём равенство достигается только для эллиптических схем $\mathsf{H}_3$, $\mathsf{H}_4$ и параболических схем $\widetilde{\mathsf{B}}_3$, $\widetilde{\mathsf{D}}_4$.

Задача 10.10. Связная эллиптическая или параболическая схема Кокстера, имеющая более одной особенности, — это одна из параболических схем $\widetilde{\mathsf{B}}_n$, $\widetilde{\mathsf{C}}_n$, $\widetilde{\mathsf{D}}_n$.

Задача 10.11. Линейная эллиптическая или параболическая схема Кокстера ранга $\geq 3$ с одним кратным ребром — это одна из эллиптических схем $\mathsf{B}_n$, $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{H}_3$, $\mathsf{H}_4$ или параболическая схема $\widetilde{\mathsf{F}}_4$.

Задача 10.12. Определитель удвоенной матрицы Грама графа $\mathsf{E}(k,l,m)$ равен $2+k+l+m-klm$.

Задача 10.13. Эллиптические схемы Кокстера вида $\mathsf{E}(k,l,m)$ — это $\mathsf{D}_n$, $\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$, а параболические схемы Кокстера такого вида — это $\widetilde{\mathsf{E}}_6$, $\widetilde{\mathsf{E}}_7$, $\widetilde{\mathsf{E}}_8$.

предыдущий семинар	24 апреля и 1 мая 2020 г.	следующий семинар
Тема 10 Эллиптические и параболические схемы Кокстера Вместо матрицы Грама $G(P)$ системы единичных внешних нормалей многогранник Кокстера $P\subset\mathbb{E}^n$ удобно задавать его схемой Кокстера — графом, вершины которого соответствуют $(n-1)$-мерным граням многогранника и каждые две вершины соединяются $(m-2)$-кратным ребром или ребром с числовой отметкой $m$ (при большом $m$), если угол между соответствующими гранями (т.е. между гиперплоскостями, на которых грани лежат) равен $\frac{\pi}{m}$. В частности, если эти грани перпендикулярны, то соответствующие им вершины графа вообще не соединяются. Наконец, если грани параллельны, то соответствующие вершины соединяются жирным ребром (ребром «бесконечной кратности»). По схеме Кокстера однозначно восстанавливается матрица Грама $G(P)$ и тем самым — многогранник $P$ с точностью до подобия (см. задачу 10.1). Определение 1. Граф с кратными рёбрами называется эллиптической (соотв. параболической) схемой Кокстера, если он является схемой Кокстера симплициального конуса Кокстера (соотв. симплекса Кокстера). Очевидно, что симплициальный конус Кокстера $C$ неразложим (в прямое произведение) тогда и только тогда, когда его схема Кокстера связна. В обшем случае неразложимым множителям конуса $C$ отвечают связные компоненты схемы Кокстера. Всякая параболическая схема Кокстера связна, так как симплекс является неразложимым многогранником. Подсхемой схемы Кокстера будем называть всякое подмножество её вершин вместе со всеми соединяющими их рёбрами. Определение 2. Рангом схемы Кокстера называется ранг соответствующей матрицы Грама (т.е. размерность соответствующего многогранника Кокстера в случае, когда его внешние нормали порождают пространство $\mathbb{E}^n$). Ранг эллиптической (соотв. параболической) схемы Кокстера равен числу её вершин (соотв. на единицу меньше числа вершин). Как устроены эллиптические и параболические схемы Кокстера? Очевидно, что всякий граф с двумя вершинами является эллиптической схемой Кокстера ранга $2$ в случае ребра конечной кратности и параболической схемой Кокстера ранга $1$ в случае ребра бесконечной кратности. Из задач 10.2 и 10.4 следует, что связная эллиптическая или параболическая схема Кокстера ранга $\geq 3$ не может содержать рёбер кратности $>3$. При работе со схемами Кокстера часто бывает технически удобнее рассматривать не саму матрицу Грама соответствующей системы единичных векторов, описываемую данной схемой, а удвоенную матрицу Грама (на диагонали которой стоят двойки). Некоторые примеры эллиптических и параболических схем Кокстера содержатся в задачах 10.5 и 10.6. Эллиптические и параболические схемы Кокстера не могут содержать циклов, за одним исключением (см. задачу 10.7). Суммарная кратность рёбер, выходящих из каждой вершины эллиптической или параболической схемы Кокстера ранга $\geq 3$, не превосходит $4$ (задача 10.9). Назовём особенностью схемы Кокстера кратное ребро или разветвление (вершину, соединённую более чем с двумя другими вершинами). Эллиптические и параболические схемы Кокстера с более чем одной особенностью перечислены в задаче 10.10, а с одной особенностью в виде кратного ребра — в задаче 10.11. Обозначим через $\mathsf{E}(k,l,m)$ граф с простыми рёбрами, представляющий собой звезду с тремя лучами длин $k,l,m$ (число вершин которого равно $k+l+m+1$). Графы этого типа, являющиеся эллиптическими или параболическими схемами Кокстера, перечислены в задаче 10.13. Подытожим результаты классификации. Теорема. Помимо схем с одной или двумя вершинами, связные эллиптические схемы Кокстера — это $\mathsf{A}_n$, $\mathsf{B}_n(=\mathsf{C}_n)$, $\mathsf{D}_n$, $\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$, $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{H}_3$, $\mathsf{H}_4$, а параболические схемы Кокстера — это $\widetilde{\mathsf{A}}_n$, $\widetilde{\mathsf{B}}_n$, $\widetilde{\mathsf{C}}_n$, $\widetilde{\mathsf{D}}_n$, $\widetilde{\mathsf{E}}_6$, $\widetilde{\mathsf{E}}_7$, $\widetilde{\mathsf{E}}_8$, $\widetilde{\mathsf{F}}_4$, $\widetilde{\mathsf{G}}_2$: Эллиптическую схему Кокстера с двумя вершинами, соединёнными $3$-кратным ребром, обозначают через $\mathsf{H}_2$, a $4$-кратным ребром — через $\mathsf{G}_2$. С учётом этого, всякая параболическая схема Кокстера, обозначаемая как $\widetilde{\mathsf{L}}_n$ (где $\mathsf{L}$ — латинская буква от $\mathsf{A}$ до $\mathsf{G}$), получается из эллиптической схемы Кокстера, обозначенной как $\mathsf{L}_n$, добавлением одной вершины. (В частности, схема $\widetilde{\mathsf{A}}_1=\widetilde{\mathsf{I}}_1$ — это параболическая схема с двумя вершинами, соединёнными жирным ребром.) Задачи Задача 10.1. Две системы векторов евклидова пространства, имеющие одинаковые матрицы Грама, переводятся друг в друга подходящим ортогональным преобразованием. Задача 10.2. Всякая подсхема эллиптической схемы Кокстера, а также всякая собственная подсхема параболической схемы Кокстера, является эллиптической схемой Кокстера. Задача 10.3. Найти все параболические схемы Кокстера ранга $2$. Задача 10.4. Найти все связные эллиптические схемы Кокстера ранга $3$. Задача 10.5. Следующие графы являются эллиптическими схемами Кокстера ранга $n$: $\mathsf{A}_n$, $\mathsf{B}_n$ (она же $\mathsf{C}_n$), $\mathsf{D}_n$. Указание: воспользоваться критерием Сильвестра или явно предъявить соответствующую систему векторов. Задача 10.6. Следующие графы являются параболическими схемами Кокстера ранга $n$: $\widetilde{\mathsf{A}}_n$ $(n\geq 2)$, $\widetilde{\mathsf{B}}_n$, $\widetilde{\mathsf{C}}_n$, $\widetilde{\mathsf{D}}_n$. Указание: воспользоваться задачей 9.8 или явно предъявить соответствующую систему векторов. Задача 10.7. Если эллиптическая или параболическая схема Кокстера содержит цикл, то она является параболической схемой Кокстера типа $\widetilde{\mathsf{A}}_n$ ($n\geq 2$). Указание: рассмотреть сумму векторов внешних нормалей, отвечающих вершинам цикла, и вычислить её скалярный квадрат. Задача 10.8. При увеличении кратности любого концевого ребра эллиптической или параболической схемы Кокстера определитель матрицы Грама уменьшается. Задача 10.9. Сумма кратностей рёбер, выходящих из вершины связной эллиптической или параболической схемы Кокстера ранга $\geq 3$, не превосходит $4$, причём равенство достигается только для эллиптических схем $\mathsf{H}_3$, $\mathsf{H}_4$ и параболических схем $\widetilde{\mathsf{B}}_3$, $\widetilde{\mathsf{D}}_4$. Задача 10.10. Связная эллиптическая или параболическая схема Кокстера, имеющая более одной особенности, — это одна из параболических схем $\widetilde{\mathsf{B}}_n$, $\widetilde{\mathsf{C}}_n$, $\widetilde{\mathsf{D}}_n$. Задача 10.11. Линейная эллиптическая или параболическая схема Кокстера ранга $\geq 3$ с одним кратным ребром — это одна из эллиптических схем $\mathsf{B}_n$, $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{H}_3$, $\mathsf{H}_4$ или параболическая схема $\widetilde{\mathsf{F}}_4$. Задача 10.12. Определитель удвоенной матрицы Грама графа $\mathsf{E}(k,l,m)$ равен $2+k+l+m-klm$. Задача 10.13. Эллиптические схемы Кокстера вида $\mathsf{E}(k,l,m)$ — это $\mathsf{D}_n$, $\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$, а параболические схемы Кокстера такого вида — это $\widetilde{\mathsf{E}}_6$, $\widetilde{\mathsf{E}}_7$, $\widetilde{\mathsf{E}}_8$.