Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах. Групповая алгебра. Разложение комплексной групповой алгебры в прямую сумму матричных алгебр. Число неприводимых комплексных представлений. Неприводимое (n-1)-мерное представление симметрической группы S_n.

Лемма Шура. Размерность пространства гомоморфизмов из прямой суммы представлений. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. Неприводимые представления неабелевой группы порядка шесть. Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах (не закончили доказательство).

Комплексные представления абелевых групп. Одномерные комплексные представления конечных групп. Гомоморфизмы представлений. Гомоморфизмы из регулярного представления. Лемма Шура (пока без комплексного случая).

Четырнадцатая студенческая олимпиада по алгебре состоится 7 декабря 2019 (суббота) в 12:30 в аудитории 14-08.

Объявление.

—

Подпредставления. Неприводимые представления. Прямые суммы представлений. Проекторы. Теорема Машке.

Единственность поля из p^k элементов. Подполя конечных полей (единственность подполя данной мощности оставил в качестве простого упражнения). Линейные и матричные представления групп. Примерчики некоторые. Регулярное представление. Изоморфизм представлений.

Строение простых расширений полей. Теорему о примитивном элементе в характеристике ноль сформулирована в качестве упражнения со звёздочками. Другое упражнение со звёздочками: пример конечномерного непростого расширения. Алгебраические расширения. Теорема о башне расширений (об умножении размерностей). Алгебраичность эквивалентна локальной конечномерности. Поле алгебраических чисел. Почему оно поле? Почему оно алгебраически замкнуто? Поле разложения: существование и единственность. Существование поля из p^k элементов.

Теорема о гомоморфизмах для колец. Простые кольца. Простота кольца матриц над полем. Кольца главных идеалов. Кольцо многочленов от одной переменной над полем —КГИ. Критерий того, что факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем по идеалу I является полем. Поле из четырёх элементов. Простые поля. Простые подполя полей. Поля из десяти элементов не бывает. Алгебры (над полем), подалгебры, идеалы в алгебрах. Теорема о гомоморфизмах для алгебр. Простые алгебраические расширения полей.

Теорема Жордана–Гёльдера. Кольца, подкольца, гомоморфизмы, ядро, идеалы. Ядро является идеалом.

Теоремы Силова и их следствия. Лемма Бернсайда о числе орбит. Простые группы. Простота знакопеременных групп. Композиционный ряд, существование. Теорема о соответствии подгрупп при эпиморфизмах.

Вопросы к коллоквиуму

Силовские подгруппы. Теорема Силова.

Коммутант полной и специальной линейной группы при n>2. Разрешимые группы. Разрешимость подгрупп и факторгрупп разрешимых групп. Разрешимость расширения разрешимой группы при помощи разрешимой. Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем. Действия группы на множестве. Различные орбиты не пересекаются. Длина орбиты равна индексу стабилизатора. Стабилизаторы точек одной орбиты сопряжены. Примеры. Нормализаторы и централизаторы. Нетривиальность центра нетривиальной конечной р-группы. Разрешимость конечных р-групп.

Вопросы к коллоквиуму в среду появятся.

Расписание колоквиумов (осень 2019)

Теорема о подгруппах свободных абелевых групп (о согласованных базисах). Факторгруппа AxB по подгруппе HxK, где H — нормальная подгруппа в A, а K — нормальная подгруппа в B. Теорема о строении конечно порождённых абелевых групп (с единственностью). Периодическая часть и р-компоненты абелевой группы. Конечные подгруппы в мультипликативной группе поля. Коммутаторы и коммутант. Коммутант S_n и A_n при n>4. Коммутант — наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева. Число гомоморфизмов из симметрической группы порядка 2019! в циклическую группу порядка сто.

21 и 28 октября и 11, 18 и 25 ноября будет две лекции по алгебре: на второй и четвёртой паре.

С 21 сентября по 17 октября я в командировке. Вместо лекций по алгебре будут лекции по топологии (а потом будет наоборот). На семинарах меня будут заменять умные аспиранты.

Дальнейший план такой:

• теорема о строении конечно порождённых абелевых групп;
• коммутант;
• разрешимые группы;
• действия;
• теоремы Силова;
• …

Элемент свободной абелевой группы F можно включить в базис тогда и только тогда, когда он не лежит в 2F, 3F, 5F,… и тогда и только тогда, когда его координаты взаимно просты. Обобщение на несколько элементов оставил в качестве упражнения, рекомендую разобрать на семинарах (там миноры должны быть взаимно просты).

Доказали (почти!) теорему о подгруппах свободных абелевых групп (то есть о согласованных базисах).

Вот основные вещи.

Факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах. Примеры. Группа кватернионов. Теорема Кэли. Нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов. Теорема о том, что каждая подгруппа H конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего |G:H|!). Прямые произведения (внешнее и внутреннее определение). Разложение циклической группы в прямую сумму примарных. Конечно порождённые свободные абелевы группы (= прямые суммы бесконечных циклических), базисы. Всякая конечно порождённая абелева группа изоморфна факторгруппе свободной.

В понедельник 16 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары).

Подгруппы циклических групп. Смежные классы. Теорем Лагранжа. Индекс. Нормальные подгруппы. Сопряжённые подгруппы. Гомоморфизмы. Ядро и образ. Нормальность ядра. Факторгруппа (только корректность пока доказали).

Содержание курса. Группы. Примеры (кватернионов не было, но будут потом). Группы как группы симметрий разных структур. Группы автоморфизмов (поля, векторного пространства, группы). Алгебраическое описание диэдральной группы. Изоморфизм. Подгруппы. (Под)группы, порождённые чем-то. Порядок элемента. Описание циклических групп.

В понедельник 2 сентября будет две лекции по алгебре (вторая и четвёртая пары). А 9 сентября вместо лекции по алгебре будет лекция по топологии.