Введение в теорию гиперболических групп

Список задач к зачету/экзамену и список вопросов к экзамену (Весна 2023).


Аннотация: Будут даны основные понятия теории гиперболических групп.

Данный спецкурс является естественным продолжением спецкурса А.А. Клячко «Комбинаторная теория групп» (весенней части годового курса «Теория групп») http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/sk.htm. Но его можно слушать и независимо при условии, что слушатель владеет понятиями теории групп из основных курсов Алгебры за 1-й и 3-й семестры.

На спецкурсе гиперболические группы будут рассматриваться в основном с точки зрения комбинаторной теории групп.


Литература:

1) А.Ю.Ольшанский, «Гиперболические группы», лекции

2) M.Hull «Hyperbolic groups. Lecture notes» http://homepages.math.uic.edu/~mbhull/hyperbolic%20lecture%20notes.pdf

3) J.Howie «Hyperbolic groups. Lecture notes» http://www.macs.hw.ac.uk/~jim/samos.pdf

4) «Гиперболические группы по Михаилу Громову», ред. Гис, Э; Де Ля Арп, П., М.: Мир. 269 страниц; 1992 г.

5) Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1989

6) Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. – М.: Мир, 1980.


Краткое содержание лекций (весна 2023 год):

[1 лекция, 10 февраля] Напоминание понятий: порождающие и определяющие соотношения группы, свободные группы. Граф Кэли.

[2 лекция, 17 февраля] Граф Кэли. Квазиизометрия

[3 лекция, 3 марта] Квазиизометрия. Примеры квазиизометрических инвариантов. Рост группы.

[4 лекция, 17 марта] Диаграммы ван Кампена. Связь с графами Кэли. Функция Дэна.

[5 лекция, 24 марта] Функция Дэна прямого произведения групп. Функция Дэна и проблема равенства слов. Определение гиперболической группы (через функцию Дэна)

[6 лекция, 31 марта] Геодезические метрические пространства. Гиперболические пространства (три определения).

[7 лекция, 7 апреля] Гиперболические пространства (три определения). Лемма о четырёхугольнике. Теорема о ломаной (без доказательства).

[8 лекция, 21 апреля] Гиперболичность, свойство Дэна и линейность изопериметрической функции. Подгруппы гиперболических групп. Элементы конечного порядка.

[9 лекция, 12 мая, в 15:00 онлайн] Определения квазигеодезического пути. Свойства. Определение квазигеодезического элемента бесконечного порядка. Леммы 1-4.

[10 лекция, 17 мая] Квазигеодезичность элемента бесконечного порядка в гиперболической группе. Сопряжённые степени.


Краткое содержание лекций (2021 год):

[1 лекция, 10 сентября] Напоминание понятий: порождающие и определяющие соотношения группы, свободные группы.

[2 лекция, 17 сентября] Граф Кэли.

[3 лекция, 24 сентября] Квазиизометрия

[4 лекция, 1 октября] Примеры квазиизометрических инвариантов. Рост группы.

[5 лекция, 8 октября] Диаграммы ван Кампена. Связь с графами Кэли.

[6 лекция, 15 октября] Функция Дэна.

[7 лекция, 22 октября] Функция Дэна и проблема равенства слов. Определение гиперболической группы (через функцию Дэна). Группы с условием С'(1/6).

[8 лекция, 29 октября] Группы с условием С'(1/6). Алгоритм Дэна.

[5 ноября] Лекция проводиться не будет. Выходной.

[9 лекция, 12 ноября] Геодезические метрические пространства. Гиперболические пространства.

[10 лекция, 19 ноября] Гиперболические пространства.(см. Proposition 2.5 в [2])

[11 лекция, 26 ноября] Гиперболичность, свойство Дэна и линейность изопериметрической функции. Примеры гиперболических и не гиперболических групп.

[12 лекция, 3 декабря] Подгруппы гиперболических групп. Элементы конечного порядка и конечные подгруппы гиперболических групп.

[13 лекция, 10 декабря] Доказательство теоремы о ломаной с длинными сегментами.

[14 лекция, 17 декабря] Завершение доказательства теоремы о ломаной с длинными сегментами.

Список задач (2021)