Для сдачи экзамена необходимо решить по крайней мере 5 задач из разных разделов. На экзамене допускается пользоваться любыми материалами (рукописными, печатными, электронными).
5.9.2012 Рациональные отображения. Бирациональные изоморфизмы. Примеры. РАздутия многообразий. Фундаментальные точки рационального отображения.
12.09.2012 Дивизоры Вейля и Картье. Линейная эквивалентность. Линейные системы. Базисное множество и неподвижная часть. Соответствие между линейыми системами и рациональными отображениями в проективное пространство. Полный прообраз дивизора Картье. Теория пересечений.
19.09.2012 Дифференциальные формы. Поведение дифференциальных форм при рациональных отображениях. Канонический класс.
03.10.2012 Канонический класс. Вычисления для проективного пространства. Формула присоединения. Не(уни)рациональность гиперповерхностей большой степни. Каноническая алгебра. Ее бирациональная инвариантность. Необходимые сведения о градуированных алгебрах.
10.10.2012 Дивизориальная алгебра. Каноническая алгебра. Понятие размерности Кодаиры и размерности Иитаки. Простейшие свойства. О конечной порожденности дивизориальной алгебры. Двумерный случай. Теорема Ходжа об индексе. Разложение Зарисского (доказательство не закончено).
17.10.2012 Разложение Зарисского. Его свойства. Разложение Зарисского и конечная порожденность дивизориальной алгебры (редукция к численно эффективному дивизору). Пример дивизора, для которого R(X,D) не является конечно порожденным. Конечная порожденность R(X,D) для полуобильногго дивизора.
24.10.2012 Окончание доказательства разложения Зарисского. Свойства численно эффективных дивизоров. Объемные дивизоры и их свойства. Дивизоры с κ(X,D)=1 (на поверхности). Конечная попрожденность R(X,D) для дивизоров с Bs |nD|=\emptyset.
31.10.2012 Доказательство критерия конечной попрожденности R(X,D) для поверхностей. Канонические модели. Минимальнае модели поверхностей (различные определения). Критерий Кастельнуово (формулировка). Примеры. Многообразия общего типа. Примеры.
14.10.2012 Плюриканоническое отображение поверхностей |nK_X| является морфизмом для некоторого n. Особенности канонической модели. Понятие о дювалевских особенностях. Конечная порожденность канонической алгебры для поверхностей. Бирациональная классификация поверхностей.
21.10.2012 Отображение Альбанезе. Его свойства. Отображения Альбанезе на поверхностях с одномерным образом. Приложения: поверхности с pg=1, q=2, κ=0. Кривые на многообразиях. Схема Hom. Ее размерность. Примеры. Формулировка теремы о существовании рациональных кривых. Следствия: поверхности с μ=3 и 2.
28.10.2012 Существование рациональных кривых. Унилинейчатые и рационально связные многообразия. Экстремальные лучи. Теорема о еонусе. Отрицательные экстремальные лучи на поверхностях. Критерий рациональности Кастельнуово. Следствия.