Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят на 1-й паре (9:00-10:35) по понедельникам на каждой чётной неделе в ауд. 12-07 и по четвергам еженедельно в ауд. 12-06.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров ($2\times2$ и $3\times3$). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1б;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Элементарные преобразования СЛУ и их матриц. Метод Гаусса решения СЛУ.

• 8.1вге, 8.2вгж, 16.1а.

Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции. Арифметическое векторное пространство $\mathbb{R}^n$. Линейная зависимость векторов.

• 8.7, 8.8, 6.3де, 6.4, 6.7вд;
• найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Свойства линейной зависимости. Базис системы векторов. Когда система векторов обладает единственным базисом? Основная лемма о линейной зависимости. Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Стандартный базис в $\mathbb{R}^n$. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в $\mathbb{R}^n$.

• 6.6, 6.9абд, 6.12вги, 6.13, 6.14, 7.19★
• доказать, что для подсистемы векторов $B\subseteq S$ следующие условия эквивалентны:
  1. $B$ — максимальная (по включению) линейно независимая подсистема в $S$;
  2. $B$ линейно независима и линейно порождает систему $S$;
  3. $B$ — минимальная (по включению) порождающая подсистема в $S$.

Ранг матрицы, его свойства и вычисление. Подпространства в векторном пространстве, примеры: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.3, 7.5, 8.4аб, 8.25★.