П.И. Кацыло

О проективных инвариантах римановых метрик и связностей

Дифференциальный ковариант, действующий на метрики, называется проективно-инвариантным, если он принимает одинаковые значения на проективно-эквивалентных римановых метриках. (Метрики называются проективно-эквивалентными, если они имеют одинаковые геодезические (как кривые без учета параметризации).) До сих пор был известен один проективный инвариант - проективный тензор Вейля.

На основе теории инвариантов докладчику удалось построить серию новых проективных инвариантов. Оказывается, гораздо больше проективных инвариантов можно получить, если обобщить вопрос и рассмотреть проективные инварианты связностей. В частности, таким путем мы получим проективный инвариант четвертого порядка E_4. Его физический смысл следующий: если геодезические метрики g являются траекториями световых лучей в вакууме, то E_4(g)=0. (Другими словами, если метрика g проективно эквивалентна метрике Эйнштейна, то E_4(g)=0.) В частности, используя инвариант E_4 и отслеживая траектории лучей, можно экспериментально проверять, действительно ли уравнения Эйнштейна описывают вакуум.