В этом докладе мы обсудим класс аффинных алгебраических многообразий, связанных с положительными косами, и их кластерные структуры. Эти многообразия можно как задать явной системой уравнений, так и описать в терминах конфигураций флагов как подмногообразия открытых многообразий Ботта–Самельсона. Второе описание известно под именем открытых «кирпичных многообразий».

Я объясню, какой смысл эти многообразия имеют с точки зрения симплектической топологии и в контексте инвариантов зацеплений, таких как полиномы HOMFLY-PT и гомологии Хованова–Розанского. Мы обсудим, как изучение дифференциальных градуированных алгебр, построенных по определённым лежандровым зацеплениям, оказывается связанным с алгебраической геометрией многообразий Ричардсона в типе A. Я проиллюстрирую наши результаты и гипотезы относительно этого взаимодействия между топологией и алгебраической геометрией на примере открытых позитроидных страт в грассманианах. Наконец, я кратко объясню предполагаемые связи между некоторыми стратификациями кирпичных многообразий и кластерными структурами на их координатных кольцах.

Доклад основан на совместных работах с Роже Касальсом, Евгением Горским и Хосе Сименталем arXiv:2012.06931, arXiv:2105.13948.