Кафедра высшей алгебры

1. Системы линейных уравнений, методы их решения.
2. Векторные пространства, линейная зависимость векторов, базис. Ранг системы векторов.
3. Матрицы, операции над ними.
4. Перестановки и подстановки.
5. Определители.
6. Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.
7. Комплексные числа, «основная теорема алгебры».
8. Вычеты.
9. Теория многочленов: деление с остатком, корни многочленов, разложение на множители.
10. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены.
11. Рациональные дроби.

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры.
2. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
3. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры.
4. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. Часть I. Основы алгебры.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2015. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Матрицы: определение. Квадратные, диагональные, (главная и побочная диагональ), верхние и нижние треугольные матрицы. Операции сложения и умножения на число. Свойства этих операция.

Определители 2-го и 3-го порядка: определение. Описание метода разложения по строке/по столбцу.

Ведущие элементы (лидеры) строк матрицы. Матрицы ступенчатого вида. Элементарные преобразование над строками. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому (и улучшенному ступенчатому) виду.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их решения: определение и примеры. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛАУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Их связь с элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛАУ.

Метод Гаусса решения СЛАУ: приведение к ступенчатому (и улучшенному ступенчатому) виду, анализ ступенчатой СЛАУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы.

Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка по определению и методом разложения по строке/по столбцу.

Домашнее задание: 9.1 в,г,д, 9.2 а,б (решить методом разложения по строке/по столбцу),в,д,е

Общее решение системы. Преимущество улучшенного ступенчатого вида.

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), их совместность. ОСЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

Векторное пространство. Примеры. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.

1) Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром.

2) Векторное пространство: проверка аксиом. Проверка системы векторов на линейную зависимость.

Домашнее задание:

1) 8.1 б,в,г, 8.2 в,г,з

2) 6.2 б, 6.3 б,д, 6.4, 6.7д, 6.8, 6.9 б,д, ★6.14

3) Доказать следствия из аксиом векторного пространства V над R:

• единственность нулевого вектора,

• единственность противоположного вектора,

• λ0=0, λ(-x)=-λx, λ(x-y)=λx-λy, 0x=0, (-1)x=-x, (λ-µ)x=λx-µx, где x,y∈V, λ,µ∈R.

1) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.

2) Определение векторного подпространства. Примеры.

3) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство. Основная лемма о линейной зависимости.

4) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное подпространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Определение размерности векторного пространства. Примеры.

Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

Определение векторного пространства.

Базис системы векторов.

Домашнее задание:

1) Доказать Лемму 1 и Лемму 2.

2) 6.10 (а,б), 6.11

Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк.

Критерий совместности и определенности СЛАУ в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).

Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.

Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.

Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.

Ранг матрицы.

Домашнее задание: 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13, 35.11, 7.1 (б,к,л) (решить методом ЭП), 7.2 (д,е,з), 7.3, 7.5

1)Однородные СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

2) Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки.

1) Нахождение ФСР однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

2) Перестановки. Инверсии. Знак перестановки.

Домашнее задание:

1) 8.4 (в,г), 8.1 (в,г), ★7.19, ★8.25

2) 3.5 (б,в,г,д)

1)Свойства перестановок.

2) Формула полного разложения определителя. Примеры определителя 2-го и 3-го порядка. Определитель треугольной матрицы.

3) Определитель как полилинейная кососимметрическая функция. Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисления определителя посредством приведения к треугольному виду.

1) Задачи на формулу полного разложения определителя.

2) Свойства определителя. Метод Гаусса вычисления определителей.

Домашнее задание: 10.2, 10.4 г,д, 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 б.е, 13.2 а, б, з.

1)

2)

Домашнее задание: