Кафедра высшей алгебры - одна из старейших на механико-математическом факультете МГУ. Ее основал в 1929 г. и до 1949 г. возглавлял О. Ю. Шмидт - воспитанник Киевской алгебраической школы, впоследствии академик, многогранный ученый, общественный и государственный деятель.

Кафедра хранит традиции, заложенные ее первым заведующим. Символично, что научно-исследовательский семинар по алгебре, начавший работу в апреле 1930 г., продолжает действовать практически без перерыва до сих пор, хотя тематика его, естественно, сильно расширилась.

В становлении алгебро-топологических исследований в МГУ большую роль сыграл выдающийся представитель Московской математической школы П. С. Александров, который своими работами и лекциями зажег талант алгебраического тополога Л. С. Понтрягина и алгебраиста А. Г. Куроша - будущего заведующего кафедрой (до 1971 г.). Их работы 30-х годов по непрерывным и абстрактным группам заложили прочный фундамент в здание русской теоретико-групповой школы. Была выдвинута и успешно реализовывалась обширная программа исследований бесконечных групп с различными условиями обобщенной разрешимости и обобщенной конечности.

В конце 40-х - начале 50-х годов на кафедре широким фронтом развернулись теоретико-кольцевые исследования. В этот же период О. Н. Головиным была создана теория нильпотентных произведений групп, а в более позднее время - общая теория поливербальных произведений. В теории абелевых групп А. П. Мишиной получены результаты, послужившие впоследствии основой для исследований в более широком классе модулей.

В 50-е - 60-е годы работа кафедры высшей алгебры шла по следующим направлениям:

• теория групп Ли и однородных пространств;
• алгебраическая геометрия;
• алгебраическая теория чисел;
• теория групп;
• теория колец;
• теория категорий, универсальных алгебр (Е. Г. Шульгейфер, В. А. Артамонов), теория полугрупп;
• теория решеток.

С 1972 г. по 2000 г. кафедру высшей алгебры возглавлял чл.-корр. РАН Алексей Иванович Кострикин.

Последние два десятилетия основными направлениями работы кафедры являются

• алгебры Ли;
• комбинаторная теория групп;
• теория колец, модулей, универсальных алгебр;
• группы Ли и теория инвариантов.

В целом, круг научных исследований, ведущихся на кафедре, постоянно расширяется, и это естественно, поскольку необходимость развития алгебры на мировом уровне диктует свои жесткие условия.

Современный взгляд на преподавание алгебры 20-го столетия отражают учебники и учебные пособия А. И. Кострикина, Л. А. Скорнякова, Ю. А. Бахтурина и других сотрудников кафедры.

В настоящее время сотрудники кафедры разрабатывают большое число научных направлений, как классических, так и совершенно новых. Среди них группы, алгебры и супералгебры Ли (структурная теория, комбинаторная теория, многообразия, теория представлений, целочисленные решетки); кольца, модули; универсальные алгебры и квантовые группы; алгебраическая геометрия (многообразия Фано, исследования по программе Мори, исключительные расслоения); алгебраические группы и их инварианты; базисы Гребнера, компьютерная алгебра и дифференциальная алгебра; линейная алгебра над полями и кольцами; теория моделей. К новым направлениям исследования и преподавания, имеющим важное прикладное значение, относятся алгебраические методы в экономике, теория квазикристаллов, криптография, теория кодирования и защита информации.