Кафедра высшей алгебры

Усилиями И.Р.Шафаревича и его учеников (прежде всего Ю.И.Манина) в Московском университете были заложены основы школы алгебраической геометрии, получившей впоследствии всемирное признание. В связи с диофантовыми проблемами вводятся и изучаются группы главных однородных пространств для эллиптических кривых и более общих абелевых многообразий и дается их когомологическа интерпретация. Важные результаты получены в теории коммутативных формальных групп. Доказан функциональный аналог гипотезы Морделла (недавнее доказательство Фалтингса теоретико-числовой гипотезы Морделла опиралось, в частности, на результаты и гипотезы московских математиков). Изучены рациональные поверхности, определенные над незамкнутыми полями. Доказана теорема жесткости для семейства алгебраических кривых данного рода с фиксированными точками вырождения.

В алгебраической теории чисел И.Р.Шафаревичем решена обратная задача Галуа для разрешимых групп, сформулирован и доказан общий закон взаимности (девятая проблема Гильберта). Знаменитой теоремой Голода-Шафаревича решена проблема башни полей классов.

В 50-е - 60-е годы на кафедре получили значительное развитие теория групп Ли и однородных пространств (А.Л.Онищик, а затем Э.Б.Винберг). Была получена топологическая классификация однородных пространств компактных групп. Изучались однородные пространства с инвариантными структурами, получено описание однородных кэлеровых и кватернионных пространств. Построена теория выпуклых конусов. Разработана теория дискретных групп отражений в пространствах Лобачевского, получившая дальнейшее развитие в последние годы.

В 50 - 60-е годы вновь активизировались исследования в теории групп, преимущественно в области теории многообразий. Стали одним из интересных объектов изучения и важным рабочим инструментом сплетения групп. Доказана свобода полугруппы всех многообразий; исследовались произведения многообразий, в частности, свободные группы, и в этой связи - свободные разрешимые, полинильпотентные и другие магнусовы группы (А.Л.Шмелькин). Ярким результатом явилось построение бесконечной финитно аппроксимируемой периодической конечнопорожденной группы. Одновременно построена бесконечномерная нильалгебра с двумя образующими (Е.С.Голод).

В теории колец акцент переносится на ассоциативные кольца и модули над ними. Была выдвинута и реализована программа гомологической классификации колец. Широко изучались топологические кольца, в частности локально компактные бирегулярные кольца и кольца непрерывных линейных преобразований (Л.А.Скорняков, А.В.Михалев). Доказана шпехтовость ряда многообразий (В.Н.Латышев).