Кафедра высшей алгебры

Тридцать лет тому назад в двух работах А.И.Кострикина и И.Р.Шафаревича были введены четыре серии Wn, Sn, Hn, Kn простых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики p>0. Эти алгебры, их обобщенные варианты и алгебры классического типа включали в себя все многообразие примеров простых модулярных алгебр Ли, изучавшихся с начала тридцатых годов. Высказанная авторами гипотеза о том, что любая абстрактная простая алгебра Ли конечной размерности при p>5 должна быть классической или алгеброй обобщенного картановского типа, легла в основу классификационной программы, реализованной лишь в последние годы. Учениками А.И.Кострикина (А.С.Джумадильдаев, М.И.Кузнецов, С.М.Скрбин и др.) установлены многие важные факты о когомологиях, деформациях, формах и представлениях модулярных алгебр Ли. Открылись неожиданные связи простых модулярных алгебр Ли, обладающих невырожденным дифференцированием, с аналитическими про-p-группами и конечными p-группами фиксированного кокласса. В серии работ А.И.Кострикин и М.И.Кузнецов дали ответ практически на все вопросы в этом направлении. Фактически это первый выход модулярных алгебр Ли в смежные области математики. Нетривиальный взгляд на простые алгебры Ли с точки зрения тождеств развит Ю.П.Размысловым, а недавно Ю.А.Бахтурин и его ученики развили конструкцию обширного семейства бесконечномерных локально конечных простых алгебр Ли. В целом, алгебры обобщенного картановского типа оказались на оживленном перекрестке идей. Монографией А.И.Кострикина и его ученика Фам Хыу Тьепа (1994 г.) подведен итог 15-летним исследованиям ортогональных разложений комплексных простых алгебр Ли, целочисленных инвариантных решеток в них и ассоциированных конечных групп автоморфизмов. К этой деятельности подключились многие другие математики, а сама идея ортогональных разложений нашла выход в бесконечномерные аффинные алгебры Ли.

Тождества в алгебрах и супералгебрах Ли стали предметом монографии Ю.А.Бахтурина (1986 г.) и монографии Ю.А.Бахтурина, М.В.Зайцева, А.А.Михалева, В.М.Петроградского (1992 г.). Им принадлежат многочисленные результаты, которые касаются не только свойств конечности. Наиболее глубокие результаты носят структурный характер. Например, дано описание алгебр Ли, все неприводимые представления которых имеют конечную ограниченную степень (Ю.А.Бахтурин); построено специальное расширение алгебры Ли над полем, не явлющееся специальным (Ю.Билиг - ответ на вопрос В.Н.Латышева). С.П.Мищенко показал, что не существует многообразий алгебр Ли над полем характеристики нуль, рост которых был бы промежуточным между экспоненциальным и степенным; А.А.Михалев построил базисы свободных цветных супералгебр Ли. М.В.Зайцев получил описание специальных многообразий конечного и почти конечного базисного ранга.

В настоящее время продолжается работа по исследованию групп и построению групп с заданными свойствами. Средствами своего геометрического метода А.Ю.Ольшанский построил бесконечную простую группу, все собственные подгруппы которой - одного и того же простого порядка p»1. Этот монстр дает ответ на одну старую проблему О.Ю.Шмидта о существовании бесконечной неабелевой группы, все собственные подгруппы которой конечны. Вопрос об экономно сформулированных условиях, обеспечивающих конечность групп, оказался удивительно глубоким, если не сказать - неисчерпаемым. В свою очередь, архипелаг бесконечных групп выглядит гораздо интереснее, чем предполагалось ранее. Это убедительно продемонстрировано в монографии А.Ю.Ольшанского (1989 г.). Им и его учениками (С.В.Ивановым, В.С.Губой, К.И Лоссовым, А.А.Клячко и др.) указаны самые разнообразные конструкции групп с заданными, зачастую невероятными свойствами. В последнее время геометрический метод нашел свою естественную нишу - гиперболические группы М.Громова, многие свойства которых теперь четко обоснованы. Комбинаторная теория групп радикально преобразилась.

К традиционным направлениям относится теория колец, модулей и универсальных алгебр. А.В.Михалевым изучены с единых позиций мультипликативные свойства колец, линейные группы над кольцами, полугруппы и кольца эндоморфизмов модулей. Мощным средством исследования является развита К.И.Бейдаром и А.В.Михалевым теория ортогональной полноты алгебраических систем. Применение теории ортогонально полных многосортных алгебраических систем в структурной теории полупервичных колец получило широкий отклик. А.В.Михалевым и К.И.Бейдаром в соавторстве с В.Мартиндейлом активно развивается новый подход, в основе которого лежит понятие обобщенного тождества. Результаты этих исследований отражены в монографии, вышедшей в 1995 г. В обзорной статье А.В.Михалева и Е.В.Панкратьева (1987 г.) подведен итог исследований по дифференциальной и разностной алгебре. В.А.Артамоновым и его учениками (А.А.Давыдов, Ю.А.Хашин и др.) изучены конечнопорожденные проективные модули над скрещенными произведениями ассоциативной алгебры и некоторой специальной алгебры.

Последние дестилетия отмечены заметным оживлением деятельности в этой красивой области. Э.Б.Винберг и его ученики получили несколько крупных результатов: доказано, что поле инвариантов любого линейного представления группы SL2 рационально (П.И.Кацыло); для полупростых линейных групп, обладающих конечной «группой Вейля», в точке любой орбиты максимальной размерности дифференциалы алгебраически независимых образующих алгебры инвариантов линейно независимы (Д.И.Панюшев); дано новое описание некоторых коммутативных подалгебр универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли, явлющейся частичным квантованием коммутативных подалгебр алгебры Пуассона-Ли-Березина (Э.Б.Винберг). В связи с исследованием кообъемов кристаллографических групп движений получены новые формулы дл объемов многогранников в трехмерном пространстве Лобачевского (Э.Б.Винберг). Итоги многолетней методической работы в спецсеминарах и на спецкурсах по теории групп Ли и алгебраических групп подведены в монографии Э.Б.Винберга и А.Л.Онищика (1988).