Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [10.11.2019 01:00]
kulikova
алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [18.12.2019 21:26] (текущий)
kulikova
Строка 142: Строка 142:
2) 3.5 (б,в,г,д) 2) 3.5 (б,в,г,д)
 +
---- ----
-----+
=== 8 октября 2019 === === 8 октября 2019 ===
Строка 230: Строка 231:
1) 18.3 (а,д,в,г,з,и), 8.6 (б, д) 1) 18.3 (а,д,в,г,з,и), 8.6 (б, д)
-2) ...+2) 54.1(д), 54.3, 55.1, 55.5, 55.6
---- ----
=== 12 ноября 2019 === === 12 ноября 2019 ===
-== Лекция 10 == +== Лекция 11 == 
-1) Группы. +Группа преобразований. Группа подстановок (операции над подстановками, разложение на независимые циклы, разложение в виде произведения транспозиций)
== Семинар == == Семинар ==
Строка 255: Строка 256:
**Домашнее задание**: **Домашнее задание**:
---- ----
 +=== 19 ноября 2019 ===
 +== Лекция 12 ==
 +1)Группа подстановок. Умножение на транспозицию. Доказательство утверждения о разложении подстановки в виде произведения транспозиций. Четность. Свойства.
 +
 +2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Свойства. Операции в тригонометрической форме.
 +Утверждение о произведении и делении в тригонометрической форме. Следствие о возведении в степень.
 +Утверждение об извлечении корня из ненулевого комплексного числа.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Четность подстановок.
 +
 +2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Операции в тригонометрической форме.
 +
 +**Домашнее задание**:
 +
 +1)3.6 (в,г,д)
 +
 +2) 20.1 (б,г,к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1 (г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж), 22.7 (б,в,п), 23.1 (а), 23.2 (а,в)  
 +----
 +=== 26 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 13 ==
 +
 +1) Группы.  Порядок группы. Подгруппы. Примеры. Циклические подгруппы. Порядок элемента. Свойства порядка элемента. Порождающее множество.
 +
 +2) Изоморфизм групп. Свойства изоморфизма. Утверждение об изоморфизме циклических групп одинакового порядка.
 +
 +3) Определение гомоморфизма групп. Примеры. Свойства.
 +
 +4) Смежные классы. Примеры. Свойства. Теорема Лагранжа. Следствие о том, что порядок элемента делит порядок конечной группы. Следствия о цикличности группы простого порядка и о подгруппах группы простого порядка.
 +
 +5) Теорема о подгруппах циклической группы (б/д).
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Подгруппы.
 +
 +2) Циклические подгруппы. Порядок элемента.
 +
 +3) Изоморфизм групп.
 +
 +4) Определение гомоморфизма групп.
 +
 +**Домашнее задание**:
 +
 +1) 56.1 (а,б)
 +
 +2) 56.3 (а,г,д,ж), 56.6, 56.8, 56.11, 56.12, 56.14, 56.15 (а), 56.16 (а)
 +
 +3) 55.22 ★, 55.38 ★, 55.20, 55.21
 +
 +4) 55.17, 55.18
 +
 +----
 +=== 3 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 14 ==
 +
 +1) Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
 +
 +2) Гомоморфизмы. Ядро и образ. Теорема о гомоморфизме.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Охрана попросила эвакуироваться.
 +
 +**Домашнее задание:** 1) 58.1 (в,г), 58.2; 2) 58.33 (а, б, в)
 +----
 +=== 10 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 15 ==
 +
 +1) Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, с единицей) кольца. Примеры.
 +Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства.
 +Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля.
 +
 +2) Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем.
 +
 +3) Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей. Малая теорема Ферма.
 +
 +4) Определение характеристики поля. Свойство характеристики.
 +
 +5) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем.
 +
 +6) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Определение кольца и поля. Делители нуля и обратимые элементы.
 +
 +2) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 63.1 (а-ж), 63.3 (а,б), ★63.13
 +
 +2) 25.1, 25.3, 25.7 (а,б)
 +
 +----
 +=== 16 декабря 2019 ===
 +
 +Дополнительное занятие
 +
 +== Лекция 16 ==
 +
 +1) Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции.
 +
 +2) Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Следствие из теоремы Безу. Число корней многочлена.
 +
 +3) Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратно¬сти при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0.  
 +
 +4) Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
 +
 +5) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем.
 +
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Многочлены как функции. Корни многочлена, кратность корня. Теорема Безу, следствие о корнях. Схема Горнера.  Формальная производная многочлена от одной переменной. Определение кратности корней многочленов над полем характеристики 0 путем дифференцирования.  
 +
 +2) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
 +
 +3) Примеры неприводимых многочленов над конечными полями. Разложение на неприводимые над полем вычетов.
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 26.1 (в), 26.2 (в), 26.3 (б), 26.6
 +
 +2) 27.1 (б,в), 27.2 (б),
 +
 +3) 28.22 (а,б),
 +
 +4) многочлены над полем рациональных чисел: 28.1, 28.2, 28.6, 28.8, 28.9 (б)
 +
 +----
 +=== 17 декабря 2019 ===
 +
 +
 +== Лекция 17 ==
 +
 +1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
 +
 +2)  Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д).
 +
 +3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Одночлены. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов.
 +
 +Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов.
 +Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета.
 +
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
 +
 +2) Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
 +
 +3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Старший член многочлена.
 +Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
 +
 +4) Формулы Виета.
 +
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 25.8 (а)
 +
 +2) 29.1 (в,г,и), 29.2 (в,г), ★(д,е), ★29.3
 +
 +3) 31.9 (б), 31.10 (б)
 +
 +4) 31.1 (б), 31.2 (б), 31.21 (б)
 +
 +----
 +{{:вопрэкз_алгебра_1квечотд_2019_.pdf|Вопросы к экзамену}}