Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [27.11.2019 12:32]
kulikova
алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [18.12.2019 21:26] (текущий)
kulikova
Строка 142: Строка 142:
2) 3.5 (б,в,г,д) 2) 3.5 (б,в,г,д)
 +
---- ----
-----+
=== 8 октября 2019 === === 8 октября 2019 ===
Строка 235: Строка 236:
=== 12 ноября 2019 === === 12 ноября 2019 ===
-== Лекция 10 ==+== Лекция 11 ==
Группа преобразований. Группа подстановок (операции над подстановками, разложение на независимые циклы, разложение в виде произведения транспозиций) Группа преобразований. Группа подстановок (операции над подстановками, разложение на независимые циклы, разложение в виде произведения транспозиций)
Строка 257: Строка 258:
=== 19 ноября 2019 === === 19 ноября 2019 ===
-== Лекция 11 ==+== Лекция 12 ==
1)Группа подстановок. Умножение на транспозицию. Доказательство утверждения о разложении подстановки в виде произведения транспозиций. Четность. Свойства. 1)Группа подстановок. Умножение на транспозицию. Доказательство утверждения о разложении подстановки в виде произведения транспозиций. Четность. Свойства.
Строка 278: Строка 279:
=== 26 ноября 2019 === === 26 ноября 2019 ===
-== Лекция 12 ==+== Лекция 13 ==
1) Группы.  Порядок группы. Подгруппы. Примеры. Циклические подгруппы. Порядок элемента. Свойства порядка элемента. Порождающее множество. 1) Группы.  Порядок группы. Подгруппы. Примеры. Циклические подгруппы. Порядок элемента. Свойства порядка элемента. Порождающее множество.
Строка 313: Строка 314:
=== 3 декабря 2019 === === 3 декабря 2019 ===
-== Лекция 13 ==+== Лекция 14 ==
1) Нормальные подгруппы. Факторгруппы. 1) Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
Строка 321: Строка 322:
== Семинар == == Семинар ==
-**Домашнее задание:**+Охрана попросила эвакуироваться. 
 + 
 +**Домашнее задание:** 1) 58.1 (в,г), 58.2; 2) 58.33 (а, б, в)
---- ----
 +=== 10 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 15 ==
 +
 +1) Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, с единицей) кольца. Примеры.
 +Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства.
 +Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля.
 +
 +2) Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем.
 +
 +3) Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей. Малая теорема Ферма.
 +
 +4) Определение характеристики поля. Свойство характеристики.
 +
 +5) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем.
 +
 +6) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Определение кольца и поля. Делители нуля и обратимые элементы.
 +
 +2) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 63.1 (а-ж), 63.3 (а,б), ★63.13
 +
 +2) 25.1, 25.3, 25.7 (а,б)
 +
---- ----
 +=== 16 декабря 2019 ===
 +
 +Дополнительное занятие
 +
 +== Лекция 16 ==
 +
 +1) Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции.
 +
 +2) Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Следствие из теоремы Безу. Число корней многочлена.
 +
 +3) Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратно¬сти при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0.  
 +
 +4) Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
 +
 +5) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем.
 +
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Многочлены как функции. Корни многочлена, кратность корня. Теорема Безу, следствие о корнях. Схема Горнера.  Формальная производная многочлена от одной переменной. Определение кратности корней многочленов над полем характеристики 0 путем дифференцирования.  
 +
 +2) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
 +
 +3) Примеры неприводимых многочленов над конечными полями. Разложение на неприводимые над полем вычетов.
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 26.1 (в), 26.2 (в), 26.3 (б), 26.6
 +
 +2) 27.1 (б,в), 27.2 (б),
 +
 +3) 28.22 (а,б),
 +
 +4) многочлены над полем рациональных чисел: 28.1, 28.2, 28.6, 28.8, 28.9 (б)
---- ----
 +=== 17 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 17 ==
 +
 +1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
 +
 +2)  Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д).
 +
 +3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Одночлены. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов.
 +
 +Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов.
 +Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета.
 +
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
 +
 +2) Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
 +
 +3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Старший член многочлена.
 +Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
 +
 +4) Формулы Виета.
 +
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 25.8 (а)
 +
 +2) 29.1 (в,г,и), 29.2 (в,г), ★(д,е), ★29.3
 +
 +3) 31.9 (б), 31.10 (б)
 +
 +4) 31.1 (б), 31.2 (б), 31.21 (б)
 +
 +----
 +{{:вопрэкз_алгебра_1квечотд_2019_.pdf|Вопросы к экзамену}}