Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- алгебра_2_курс_вечерники_осень_2021 [23.11.2021 15:37]
kulikova
+++ алгебра_2_курс_вечерники_осень_2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 **Преподаватель**: Куликова О.В.
+{{:вопросы_к_экзамену_алгебра_1курсвеч.отд._2021_.pdf|Вопросы к экзамену}}
 Занятия проходят по субботам с 09:00 до 12:20 в ауд. 16-04, 15-03
@@ Строка 291: / Строка 293: @@
 .2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.8
+----
+=== 27 ноября 2021 ===
+== Лекция 13 ==
+) Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, с единицей) кольца. Примеры.
+Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства.
+Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля.
+) Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем.
+) Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей.
+) Определение характеристики поля. Свойство характеристики.
+== Семинар ==
+) Определение кольца и поля. Делители нуля и обратимые элементы.
+**Домашнее задание**:
+) 63.1 (а-ж), 63.3 (а,б), 63.13 ...
+----
+=== 4 декабря 2021 ===
+== Лекция 14 ==
+) Поле комплексных чисел. Операции в алгебраической форме. Свойства. Операции в тригонометрической форме.
+Утверждение о произведении и делении в тригонометрической форме. Следствие о возведении в степень.
+Утверждение об извлечении корня из ненулевого комплексного числа.
+== Семинар ==
+) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Операции в тригонометрической форме.
+**Домашнее задание**:
+) 20.1 (б,г,к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1 (г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж), 22.7 (б,в,п), 23.1 (б), 23.2 (б)
+----
+=== 11 декабря 2021 ===
+== Лекция 15 ==
+) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем.
+) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
+) Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции.
+) Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Следствие из теоремы Безу. Число корней многочлена.
+) Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратности при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0.
+) Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
+) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем.
+== Семинар ==
+) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
+) Многочлены как функции. Корни многочлена, кратность корня. Теорема Безу, следствие о корнях. Схема Горнера.  Формальная производная многочлена от одной переменной. Определение кратности корней многочленов над полем характеристики 0 путем дифференцирования.
+) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
+) Примеры неприводимых многочленов над конечными полями. Разложение на неприводимые над полем вычетов.
+**Домашнее задание**:
+) 25.1, 25.3, 25.7 (а,б)
+) 26.1 (в), 26.2 (в), 26.3 (б), 26.6
+) 27.1 (б,в), 27.2 (б),
+) 28.22 (а,б),
+) многочлены над полем рациональных чисел: 28.1, 28.2, 28.6, 28.8, 28.9 (б)
+----
+=== 18 декабря 2021 ===
+== Лекция 16 ==
+) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
+)  Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д).
+) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Одночлены. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов.
+Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов.
+Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета.
+== Семинар ==
+) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
+) Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
+) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Старший член многочлена.
+Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
+) Формулы Виета.
+**Домашнее задание**:
+) 25.8 (а)
+) 29.1 (в,г,и), 29.2 (в,г), ★(д,е), ★29.3
+) 31.9 (б), 31.10 (б)
+) 31.1 (б), 31.2 (б), 31.21 (б)
 ----