1. Системы линейных уравнений, методы их решения.
2. Векторные пространства, линейная зависимость векторов, базис. Ранг системы векторов.
3. Матрицы, операции над ними.
4. Перестановки и подстановки.
5. Определители.
6. Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.
7. Комплексные числа, «основная теорема алгебры».
8. Вычеты.
9. Теория многочленов: деление с остатком, корни многочленов, разложение на множители.
10. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены.
11. Рациональные дроби.

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры.
2. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
3. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры.
4. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. Часть I. Основы алгебры.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2015. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Матрицы: определение. Квадратные, диагональные, (главная и побочная диагональ), единичная матрица. Операции сложения и умножения на число. Свойства этих операция.

Определители 2-го и 3-го порядка: определение. Основные свойства (пока только формулировки). Описание метода разложения по строке/по столбцу.

Ведущие элементы (лидеры) строк матрицы. Матрицы ступенчатого вида. Элементарные преобразование над строками. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому (и улучшенному ступенчатому) виду.

Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка по определению и методом разложения по строке/по столбцу.

Домашнее задание: 9.1 в,г,д, 9.2 б(решить методом разложения по строке/по столбцу),в,д,е, 11.5, 12.1

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их решения: определение и примеры. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛАУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Их связь с элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛАУ.

Метод Гаусса решения СЛАУ: приведение к ступенчатому (и улучшенному ступенчатому) виду, анализ ступенчатой СЛАУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы.

Общее решение системы. Преимущество улучшенного ступенчатого вида.

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), их совместность. ОСЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

Арифметическое векторное пространство. Примеры. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

1) Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром.

2) Векторное пространство: проверка аксиом. Проверка системы векторов на линейную зависимость.

Домашнее задание:

1) 8.1 б,в,г, 8.2 в,г,з

2) 6.2 б, 6.3 б,д, 6.4, 6.7д, 6.8, 6.9 б,д

1) Определение векторного подпространства. Примеры.

2) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.

3) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство. Основная лемма о линейной зависимости.

4) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное подпространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Определение размерности векторного пространства. Примеры.

Определение векторного пространства.

Домашнее задание:

1) Доказать следствия из аксиом векторного пространства V над R:

• единственность нулевого вектора,

• единственность противоположного вектора,

• λ0=0, λ(-x)=-λx, λ(x-y)=λx-λy, 0x=0, (-1)x=-x, (λ-µ)x=λx-µx, где x,y∈V, λ,µ∈R.

2) 6.8, 6.10

Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк.

Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.

1) Ранг матрицы.

Домашнее задание:

1) 7.1 (б,к,л) (решить методом ЭП), 7.2 (д,е,з), 7.3, 7.5

2) 6.11

Критерий совместности и определенности СЛАУ в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли)….

Однородные СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

1) Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.

Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.

2) Нахождение ФСР однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

Домашнее задание:

1) 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13, 35.11

2) 8.4 (в,г), 8.1 (в,г), ★7.19, ★8.25

1)Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки. Свойства перестановок.

2) Формула полного разложения определителя. Примеры определителя 2-го и 3-го порядка. Определитель треугольной матрицы.

3) Определитель как полилинейная кососимметрическая функция. Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду.

1) Перестановки. Инверсии. Знак перестановки.

2) Задачи на формулу полного разложения определителя.

Свойства определителя. Метод Гаусса вычисления определителей.

Домашнее задание:

1)3.5 (б,в,г,д)

2) 10.2, 10.4 г,д, 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 б.е, 13.2 а, б, з.

Определитель транспонированной матрицы. К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)? Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение. Определитель Вандермонда.

Определители. Разложение по строке (по столбцу). Рекуррентные соотношения.

Домашнее задание: 12.2, 12.3 д,и, 14.1 г-ж, 4.1, 4.2 б

1) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.

2) Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.

1) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.

2) Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.

Домашнее задание: 17.1 в,ж, 17.2 б, 17.4 а, 17.5а, 7.7, 7.10, 7.11, 7.12,

1) Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы.

2) Определитель произведения матриц.

3) Критерий равенства определителя нулю. Теорема о ранге матрицы (характеризация ранга в терминах миноров).

4) Обратные матрицы. Определение. Свойства

1) Определитель произведения матриц.

2) Метод окаймляющих миноров.

3) Обратные матрицы (определение).

Домашнее задание:

1) 15.1, 15.2 (а, б, в),

2) 7.1 (б,з,к) (решить методом окаймляющих миноров),

3) 18.10 (б), ★18.17, 18.18

1) Критерий существования обратной матрицы. Обоснование метода элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы.

2) Матричные уравнения. Правило Крамера.

3) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Примеры. Утверждение об единственности нейтрального элемента. Утверждение об единственности обратного элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы. Примеры.

1) Обратные матрицы. Методы вычислений.

2) Матричные уравнения. Правило Крамера.

3) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы.

Домашнее задание:

1) 18.8 (г,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л), 18.10 (б), ★17.26

2) 18.3 (а,д,в,г,з,и), 8.6 (б, д)

3) 54.1(д), 54.3, 55.1, 55.5, 55.6