| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
вечерники_1курс_весна_2016 [07.03.2016 00:24]
timashev |
вечерники_1курс_весна_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы. | - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы. |
| - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы. | - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы. |
| - Евклидовы (и эрмитовы) векторные пространства, их геометрия. | - Евклидовы векторные пространства, их геометрия. |
| - Операторы в евклидовых (эрмитовых) пространствах: ортогональные (унитарные), симметрические (эрмитовы). Полярное разложение. | - Операторы в евклидовых пространствах: ортогональные, симметрические. Полярное разложение. |
| - Аффинная геометрия. | |
| - Тензоры. | - Тензоры. |
| |
| == Лекция 3 == | == Лекция 3 == |
| |
| __Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и V** в конечномерном случае. Двойственность между векторам и линейными функциями (__ковекторами__). | __Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (__ковекторами__). |
| |
| __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса. | __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса. |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 35.15в, 36.3, 36.8; | * 35.15в, 36.3, 36.8; |
| * | * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ: |
| | * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 марта 2016 === |
| | |
| | == Лекция 5 == |
| | |
| | __Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц. |
| | |
| | __Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности. |
| | |
| | __Инвариантные подпространства__ для линейного оператора, вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами. |
| | |
| | __Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в комплексном векторном пространстве. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Нахождение матрицы линейного оператора (39.15вл), её преобразование при замене базиса (39.20). Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15е) |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 39.15ен, 39.19, 40.15бг, 40.5, 40.7, 40.9. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 21 марта 2016 === |
| | |
| | == Лекция 6 == |
| | |
| | Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве. |
| | |
| | __Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Диагонализумость линейных операторов (40.16а). Нахождение корневых подпространств (40.35а). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 40.16вг, 40.27, 40.35бг, 40.38, 41.8. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 марта 2016 === |
| | |
| | == Лекция 7 == |
| | |
| | __Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__. |
| | |
| | __Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера). |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Выражение коэффициентов характеристического многочлена через собственные значения линейного оператора, сумма и произведение собственных значений. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 41.1ажк, 41.10вг, 41.3а, 41.7, 41.30, 41.13★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 4 апреля 2016 === |
| | |
| | == Лекция 8 == |
| | |
| | __Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его ранг и критерий биективности. |
| | |
| | __Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором. |
| | |
| | __Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 38.18вгз, 38.8а, 38.9, 38.4, 37.6а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 11 апреля 2016 === |
| | |
| | == Лекция 9 == |
| | |
| | Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__. |
| | |
| | __Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу. |
| | |
| | __Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами. |
| | |
| | __Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому. |
| | |
| | Ортогональное дополнение к подпространству в евклиловом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а). При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора (43.19а) |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 38.17б, 38.19а, 38.11в, 38.14а, 43.19б. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 18 апреля 2016 === |
| | |
| | == Лекция 10 == |
| | |
| | __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра). __Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе. |
| | |
| | Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.15б, 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 25 апреля 2016 === |
| | |
| | == Лекция 11 == |
| | |
| | Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора. |
| | |
| | __Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. |
| | |
| | __Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. |
| | |
| | __Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Ортогональность собственных подпространств ортогонального или симметрического оператора. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в). Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 46.6гж, 46.14, 45.19е, 45.4г, 45.14, 45.15★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 мая 2016 === |
| | |
| | == Лекция 12 == |
| | |
| | __Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства. |
| | |
| | __Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством. |
| | |
| | __Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов. Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов). |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Полярное разложение линейного оператора. Вычисление значений тензоров (47.3а). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках), 47.3б, 47.4. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 мая 2016 === |
| | |
| | == Лекция 13 == |
| | |
| | __Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства. |
| | |
| | __Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов, его геометрический смысл. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности. |
| | |
| | Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Соответствие между тензорами типа (1,1) и линейными операторами (47.14а). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.7бв, 47.13, 47.14б, 37.33авг. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | == Итоговая контрольная работа: == |
| | 26 мая, 18:30, ауд. 14-02. |
| | |
| | == Зачёты: == |
| | * 30 мая, 18:30, ауд. 13-03; |
| | * 6 июня, 18:30, ауд. 13-03. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | == Экзамен по курсу: == |
| | 25 июня, 10:00. |
| | |
| | == Консультация: == |
| | 23 июня, 18:30. |
| | |
| | {{:staff:timashev:linalg-16.pdf|Программа экзамена}} |
