Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- вечерники_1курс_весна_2016 [22.03.2016 17:06]
timashev
+++ вечерники_1курс_весна_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
   - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы.
   - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы.
-  - Евклидовы (и эрмитовы) векторные пространства, их геометрия.
+  - Евклидовы векторные пространства, их геометрия.
-  - Операторы в евклидовых (эрмитовых) пространствах: ортогональные (унитарные), симметрические (эрмитовы). Полярное разложение.
+  - Операторы в евклидовых пространствах: ортогональные, симметрические. Полярное разложение.
-  - Аффинная геометрия.
   - Тензоры.
@@ Строка 75: / Строка 74: @@
 == Лекция 3 ==
-__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и V** в конечномерном случае. Двойственность между векторам и линейными функциями (__ковекторами__).
+__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (__ковекторами__).
 __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса.
@@ Строка 142: / Строка 141: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 40.16вг, 40.27, 40.35бг, 40.38, 41.8.
+----
+=== 28 марта 2016 ===
+== Лекция 7 ==
+__Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__.
+__Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).
+== Семинар ==
+Выражение коэффициентов характеристического многочлена через собственные значения линейного оператора, сумма и произведение собственных значений. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е).
+== Домашнее задание: ==
+  * 41.1ажк, 41.10вг, 41.3а, 41.7, 41.30, 41.13★.
+----
+=== 4 апреля 2016 ===
+== Лекция 8 ==
+__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его ранг и критерий биективности.
+__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
+__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду.
+== Семинар ==
+Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б).
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.18вгз, 38.8а, 38.9, 38.4, 37.6а.
+----
+=== 11 апреля 2016 ===
+== Лекция 9 ==
+Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
+__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
+__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
+__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
+Ортогональное дополнение к подпространству в евклиловом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства.
+== Семинар ==
+Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а). При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора (43.19а)
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.17б, 38.19а, 38.11в, 38.14а, 43.19б.
+----
+=== 18 апреля 2016 ===
+== Лекция 10 ==
+__Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра). __Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе.
+Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
+== Семинар ==
+Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39).
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.15б, 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
+----
+=== 25 апреля 2016 ===
+== Лекция 11 ==
+Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
+__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
+__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Семинар ==
+Ортогональность собственных подпространств ортогонального или симметрического оператора. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в). Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6гж, 46.14, 45.19е, 45.4г, 45.14, 45.15★.
+----
+=== 16 мая 2016 ===
+== Лекция 12 ==
+__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
+__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
+__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов. Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов).
+== Семинар ==
+Полярное разложение линейного оператора. Вычисление значений тензоров (47.3а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках), 47.3б, 47.4.
+----
+=== 23 мая 2016 ===
+== Лекция 13 ==
+__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства.
+__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов, его геометрический смысл. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности.
+Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
+== Семинар ==
+Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Соответствие между тензорами типа (1,1) и линейными операторами (47.14а). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.7бв, 47.13, 47.14б, 37.33авг.
+----
+== Итоговая контрольная работа: ==
+мая, 18:30, ауд. 14-02.
+== Зачёты: ==
+  * 30 мая, 18:30, ауд. 13-03;
+  * 6 июня, 18:30, ауд. 13-03.
+----
+== Экзамен по курсу: ==
+июня, 10:00.
+== Консультация: ==
+июня, 18:30.
+{{:staff:timashev:linalg-16.pdf|Программа экзамена}}