• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    вечерники_1курс_весна_2016 [12.04.2016 00:23]
    timashev     		вечерники_1курс_весна_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 12: Строка 12:
       - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы.   - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы.
       - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы.   - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы.
    -  - Евклидовы (и эрмитовы) векторные пространства, их геометрия. +  - Евклидовы векторные пространства, их геометрия. 
    -  - Операторы в евклидовых (эрмитовых) пространствах: ортогональные (унитарные), симметрические (эрмитовы). Полярное разложение. +  - Операторы в евклидовых пространствах: ортогональные, симметрические. Полярное разложение.
    -  - Аффинная геометрия.+
       - Тензоры.   - Тензоры.
      
    Строка 75: Строка 74:
     == Лекция 3 == == Лекция 3 ==
      
    -__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторам и линейными функциями (__ковекторами__).+__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (__ковекторами__).
      
     __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса. __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса.
    Строка 201: Строка 200:
     == Домашнее задание: == == Домашнее задание: ==
       * 38.17б, 38.19а, 38.11в, 38.14а, 43.19б.   * 38.17б, 38.19а, 38.11в, 38.14а, 43.19б.
     +
     +----
     +
     +=== 18 апреля 2016 ===
     +
     +== Лекция 10 ==
     +
     +__Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра). __Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе. 
     +
     +Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 43.15б, 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
     +
     +----
     +
     +=== 25 апреля 2016 ===
     +
     +== Лекция 11 ==
     +
     +Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора. 
     +
     +__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. 
     +
     +__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
     +
     +__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Ортогональность собственных подпространств ортогонального или симметрического оператора. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в). Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 46.6гж, 46.14, 45.19е, 45.4г, 45.14, 45.15★.
     +
     +----
     +
     +=== 16 мая 2016 ===
     +
     +== Лекция 12 ==
     +
     +__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
     +
     +__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
     +
     +__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов. Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов).
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Полярное разложение линейного оператора. Вычисление значений тензоров (47.3а).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках), 47.3б, 47.4.
     +
     +----
     +
     +=== 23 мая 2016 ===
     +
     +== Лекция 13 ==
     +
     +__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства. 
     +
     +__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов, его геометрический смысл. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности. 
     +
     +Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Соответствие между тензорами типа (1,1) и линейными операторами (47.14а). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 47.7бв, 47.13, 47.14б, 37.33авг.
     +
     +----
     +
     +== Итоговая контрольная работа: ==
     +26 мая, 18:30, ауд. 14-02.
     +
     +== Зачёты: ==
     +  * 30 мая, 18:30, ауд. 13-03;
     +  * 6 июня, 18:30, ауд. 13-03.
     +
     +----
     +
     +== Экзамен по курсу: ==
     +25 июня, 10:00.
     +
     +== Консультация: ==
     +23 июня, 18:30.
     +
     +{{:staff:timashev:linalg-16.pdf|Программа экзамена}}
    вечерники_1курс_весна_2016.1460409835.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения