Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- вечерники_1курс_весна_2016 [19.04.2016 19:58]
timashev
+++ вечерники_1курс_весна_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
   - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы.
   - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы.
-  - Евклидовы (и эрмитовы) векторные пространства, их геометрия.
+  - Евклидовы векторные пространства, их геометрия.
-  - Операторы в евклидовых (эрмитовых) пространствах: ортогональные (унитарные), симметрические (эрмитовы). Полярное разложение.
+  - Операторы в евклидовых пространствах: ортогональные, симметрические. Полярное разложение.
-  - Аффинная геометрия.
   - Тензоры.
@@ Строка 75: / Строка 74: @@
 == Лекция 3 ==
-__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторам и линейными функциями (__ковекторами__).
+__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (__ковекторами__).
 __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса.
@@ Строка 218: / Строка 217: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 43.15б, 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
+----
+=== 25 апреля 2016 ===
+== Лекция 11 ==
+Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
+__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
+__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Семинар ==
+Ортогональность собственных подпространств ортогонального или симметрического оператора. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в). Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6гж, 46.14, 45.19е, 45.4г, 45.14, 45.15★.
+----
+=== 16 мая 2016 ===
+== Лекция 12 ==
+__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
+__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
+__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов. Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов).
+== Семинар ==
+Полярное разложение линейного оператора. Вычисление значений тензоров (47.3а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках), 47.3б, 47.4.
+----
+=== 23 мая 2016 ===
+== Лекция 13 ==
+__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства.
+__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов, его геометрический смысл. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности.
+Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
+== Семинар ==
+Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Соответствие между тензорами типа (1,1) и линейными операторами (47.14а). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.7бв, 47.13, 47.14б, 37.33авг.
+----
+== Итоговая контрольная работа: ==
+мая, 18:30, ауд. 14-02.
+== Зачёты: ==
+  * 30 мая, 18:30, ауд. 13-03;
+  * 6 июня, 18:30, ауд. 13-03.
+----
+== Экзамен по курсу: ==
+июня, 10:00.
+== Консультация: ==
+июня, 18:30.
+{{:staff:timashev:linalg-16.pdf|Программа экзамена}}