Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам c 18:30 по 21:50 в ауд. 13-03.

1. Векторные пространства, базисы, размерность, координаты. Правило замены координат.
2. Подпространства, операции над ними, взаимное расположение подпространств.
3. Линейные функции, сопряжённое пространство.
4. Линейные отображения и линейные операторы.
5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы.
6. Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы.
7. Евклидовы (и эрмитовы) векторные пространства, их геометрия.
8. Операторы в евклидовых (эрмитовых) пространствах: ортогональные (унитарные), симметрические (эрмитовы). Полярное разложение.
9. Аффинная геометрия.
10. Тензоры.

1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
2. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. Главы 5−8.
3. А.И.Кострикин, Ю.И.Манин. Линейная алгебра и геометрия.
4. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. Часть II. Линейная алгебра и геометрия.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Векторные пространства над произвольным полем K, скаляры и векторы, простейшие следствия аксиом векторного пространства, примеры: арифметическое пространство K^n, геометрические векторы, пространство матриц, пространство функций на множестве, пространство многочленов, расширения полей.

Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, основная лемма о линейной зависимости.

Базис и размерность векторного пространства, координаты вектора в базисе. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

Изоморфизм векторных пространств. Любое векторное пространство размерности n<∞ над полем K изоморфно арифметическому пространству K^n.

Матрица перехода от одного базиса к другому, её свойства. Правило преобразования координат вектора при замене базиса.

Экзотический пример векторного пространства: множество всех подмножеств множества X с операцией симметрической разности подмножеств — векторное пространство над полем Z_2. Линейная независимость системы функций 1, cos(x), … , cos(nx) в пространстве функций на вещественной прямой (34.3г). Преобразование координат вектора при замене базиса (34.10а). Расширения конечных полей: связь между числом элементов поля и его подполя (34.8б).

• 34.7а, 34.4б, 34.10в, 34.11а, 34.8вд★;
• доказать, что множество R^+ положительных чисел с операциями u⊕v = u·v (u,v∈R^+) и λ⊗v = v^λ (λ∈R, v∈R^+) является векторным пространством над полем R, и найти его размерность.

Подпространства в векторном пространстве, примеры и конструкции подпространств: линейная оболочка множества векторов, пространство решений однородной системы линейных уравнений, пересечение подпространств. Объединение подпространств — вообще говоря, не подпространство. Сумма подпространств.

Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством, задание подпространства уравнениями в согласованном базисе. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. Формула Грассмана для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства.

Линейная независимость подпространств, прямая сумма подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые. Примеры: разложение пространства геометрических векторов в прямую сумму плоскости и прямой, разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму координатных осей, разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц. Размерность и базис прямой суммы подпространств.

Примеры подпространств (35.3ге). Векторные пространства над конечным полем (35.10абв). Применения формулы Грассмана: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую треугольную матрицу. Прямая сумма подпространств: недостаточность условия нулевых попарных пересечений подпространств, разложение в прямую сумму (35.18).

• 35.3джз, 35.10где, 35.9, 35.19, 35.22;
• если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X.