Лектор: Маркова Ольга Викторовна
Лекции будут проходить по вторникам в 16:45 в аудитории 15-03. Первая лекция - 13 февраля 2024г.
Внимание: досрочный экзамен можно сдать 17 мая, в 10:45, ауд. 14-14.
Темы лекций:
Лекция 1 (13 февраля 2024). Основные параметры кодов: размерность, расстояние Хэмминга, исправление ошибок. Линейные коды. Граница Синглтона. МДР-коды. Граница Хэмминга (граница сферической упаковки). Совершенные коды. Двоичный код Хэмминга. Граница Плоткина. Эквидистантные коды. Симплексный код.
Лекция 2 (20 февраля 2024). Изометрические преобразования пространства Хэмминга. Теорема А.А. Маркова.
Лекция 3 (27 февраля 2024). Реальная длина кода. Теорема Мак-Вильямс о продолжении изометрий линейных кодов.
Лекция 4 (5 марта 2024). Проверочная и порождающая матрицы линейного кода. Гарантируемый ранг и расстояние линейного кода над полем. Двойственный код. Построение новых кодов из заданных.
Лекция 5 (12 марта 2024). Построение новых кодов из заданных. Граница Грайсмера. Основы теории конечных коммутативных колец.
Лекция 6 (19 марта 2024). Структурная теорема для конечных коммутативных колец. Модули над конечными кольцами. Лемма Накаямы. Аннуляторы идеала в модуле и подмодуля в кольце. Радикал Джекобсона конечного коммутативного кольца и цоколь модуля, связь между ними. Системы образующих модуля.
Лекция 7 (26 марта 2024). Модуль характеров. Квазифробениусов модуль, существование и единственность с точностью до изоморфизма. Характеризация квазифробениусовых модулей с помощью различающих характеров.
Лекция 8 (9 апреля 2024). Линейные коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем. Общая весовая функция линейного кода над кольцом и над модулем. Тождество Мак-Вилльямс для линейных кодов над кольцом и над квазифробениусовым модулем.
Лекция 9 (16 апреля 2024). Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Характеристический многочлен ЛРП. Пространство последовательностей над кольцом как модуль над кольцом многочленов. Порождающие элементы модуля ЛРП. Импульсная последовательность. Генератор ЛРП.
Лекция 10 (23 апреля 2024). Минимальный многочлен ЛРП над полем и его свойства. Аннулятор ЛРП. Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами. Общие свойства и параметры периодических последовательностей. Периодичность ЛРП над конечным кольцом.
Лекция 11 (7 мая 2024). Периоды многочленов и ЛРП над полем. Вычисление периода неприводимого многочлена. Вычисление периода произвольного многочлена над полем по его каноническому разложению. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем. Презентация. Видео лекции 2021 года.
Некоторые материалы:
Л.В.Куракин и А.А.Нечаев. Линейные коды и полилинейные рекурренты (с разрешения авторов)
А.А.Нечаев. Конечные квазифробениусовы модули.
Экзаменационные вопросы по курсу "Алгебраическая теория кодов и линейных рекуррент" (2023год.)