Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2018 [06.09.2018 10:06]
timashev
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. __Линейная зависимость__, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Основная лемма о линейной зависимости. Обобщение на бесконечные системы векторов.
+----
+=== 12 сентября 2018 ===
+== Лекция 3 ==
+Эквивалентность условий максимальности линейно независимой подсистемы в системе векторов и выражаемости остальных векторов системы через эту подсистему. __Базис__ системы векторов: определение, примеры — базисы в пространствах геометрических векторов, стандартный базис в **R**^n. __Координаты__ вектора в базисе, пример: координаты в стандартном базисе пространства **R**^n.
+Любая система векторов в **R**^n имеет базис, и во всех базисах одинаковое число векторов (≤n). __Ранг__ системы векторов и __размерность__ векторного пространства. Отождествление произвольного n-мерного пространства с **R**^n.
+Горизонтальный, вертикальный и ступенчатый ранги матрицы. Транспонированная матрица. Теорема о совпадении трёх видов ранга матрицы, определение __ранга матрицы__, его свойства (не превосходит каждого из размеров матрицы, не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при транспонировании).
+----
+=== 17 сентября 2018 ===
+== Лекция 4 ==
+Теорема Кронекера–Капелли и критерий определённости СЛУ в терминах рангов её матрицы коэффициентов и расширенной матрицы.
+__Подпространства__ в векторном пространстве: определение и примеры. Линейная оболочка системы векторов.  Пространство решений ОСЛУ, его размерность, __фундаментальная система решений__.
+Структура множества решений произвольной СЛУ (сдвиг пространства решений ассоциированной ОСЛУ на фиксированный вектор — линейное многообразие в **R**^n), её геометрический смысл.
+----
+=== 19 сентября 2018 ===
+== Лекция 5 ==
+__Линейные отображения__ векторных пространств: определение, геометрические примеры (поворот плоскости, проекция пространства на плоскость). Линейные отображения арифметических векторных пространств и их матрицы. Интерпретация СЛУ на языке линейных отображений.
+Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ. Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n.
+----
+=== 26 сентября 2018 ===
+== Лекция 6 ==
+Матричные операции и транспонирование.
+Ранг произведения матриц.
+Тождественное отображение и единичная матрица. Символы Кронекера. __Обратная матрица__: определение, единственность, связь с обратным линейным отображением. Произведение обратимых матриц обратимо. __Невырожденные__ квадратные матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена. Алгоритм нахождения обратной матрицы (с примером).
+__Элементарные матрицы__, их основное свойство.
+----
+=== 26 сентября 2018 ===
+== Лекция 7 ==
+Обратимость элементарных матриц. Разложение произвольной невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц.
+__Перестановки__, их количество. __Подстановки__ степени n, их двухрядная запись. Взаимно однозначное соответствие между перестановками и подстановками, количество подстановок степени n равно n!.
+Умножение подстановок, его ассоциативность. Тождественная подстановка и подстановка, обратная к данной. Некоммутативность умножения подстановок.
+Циклические подстановки (__циклы__), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность (с точностью до порядка сомножителей).
+----
+=== 1 октября 2018 ===
+== Лекция 8 ==
+__Транспозиции__, разложение произвольной подстановки в произведение транспозиций.
+Инверсии в перестановке, __чётность__ и __знак__ перестановки и подстановки. Изменение чётности перестановки при транспозиции двух её элементов. Количество чётных и нечётных перестановок n элементов (или подстановок степени n) одинаково и равно n!/2. Определение знака подстановки по числу сомножителей в её разложении на транспозиции. Знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки.
+__Определители__ квадратных матриц: определение по развёрнутой формуле. Свойства определителя как функции от набора строк матрицы: полилинейность, кососимметричность, определитель матрицы с нулевой строкой, с одинаковыми и с пропорциональными строками, неизменность при элементарных преобразованиях 1-го типа.
+Определитель транспонированной матрицы, свойства определителя как функции от набора столбцов.
+Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду.
+----
+=== 3 октября 2018 ===
+== Лекция 9 ==
+Определитель матрицы — единственная, с точностью до пропорциональности, полилинейная кососимметрическая функция от её строк.
+Квадратная матрица невырождена тогда и только тогда, когда её определитель не равен 0.
+Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда, его основное свойство. Определитель произведения матриц.
+__Миноры__ прямоугольной матрицы. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Лемма о фальшивом разложении определителя.
+----
+=== 10 октября 2018 ===
+== Лекция 10 ==
+Присоединённая матрица, её основное свойство. Формула для обратной матрицы. Пример: формула для обратной к матрице размера 2×2.
+__Правило Крамера__ для решения квадратных СЛУ.
+Теорема о ранге матрицы (его совпадение с наибольшим порядком ненулевого минора), метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.
+__Группы__: определение, единственность нейтрального и обратного элемента. Абелевы группы. Примеры групп (в т.ч. симметрическая группа S_n).
+----
+=== 15 октября 2018 ===
+== Лекция 11 ==
+Сравнение мультипликативной и аддитивной терминологий в теории групп. Подгруппы: определение и примеры (в т.ч. знакопеременная группа A_n).
+__Кольца__: определение, аддитивная группа кольца. Классы колец: ассоциативные, коммутативные, кольца с единицей. Примеры колец (кольцо целых чисел **Z**, кольцо квадратных матриц Mat_n, кольцо геометрических векторов в пространстве с векторным умножением). Простейшие следствия аксиом кольца (единственность 0, 1 и противоположного элемента, умножение на 0 и на -1).
+Обратимые элементы в ассоциативных кольцах с единицей, примеры: 1 обратима, 0 не обратим в кольцах с числом элементов >1. Мультипликативная группа кольца, примеры (в т.ч. полная матричная группа GL_n).
+Делители нуля, их необратимость. Возможность сокращения на множитель, не являющийся делителем нуля.
+__Поля__: определение и примеры.  Подкольца и подполя: определение и примеры (**Z**⊂**Q**⊂**R**). Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля **R** на произвольное поле.
+Сравнимость целых чисел по модулю m, классы вычетов.
+----
+=== 17 октября 2018 ===
+== Лекция 12 ==
+Операции над вычетами, корректность их определения. __Кольцо вычетов__ **Z**_m.
+Делители нуля и обратимые элементы в кольцах вычетов. **Z**_m — поле тогда и только тогда, когда m — простое число.
+__Характеристика поля__, примеры. Если характеристика поля положительна, то это простое число. Возведение суммы в степень, равную характеристике поля. Малая теорема Ферма.
+__Комплексные числа__: аксиоматическое определение поля **C**, как минимального расширения поля **R**, содержащего квадратный корень из -1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел: существование и единственность, действительная и мнимая части комплексного числа.
+Модель поля комплексных чисел: **C**=**R**^2.
+----
+=== 24 октября 2018 ===
+== Лекция 13 ==
+Понятие __изоморфизма__ математических структур. Изоморфизм групп, колец и полей (пример: изоморфизм групп (**R**,+)≅(**R**^+,•)). Единственность поля комплексных чисел с точностью до изоморфизма.
+Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. __Модуль__ комплексного числа и __сопряжённое число__, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.
+__Аргумент__ комплексного числа, его главная ветвь. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, её экспоненциальная версия. Свойства модуля и аргумента комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме, геометрический смысл этих операций, __формула Муавра__.
+=== 29 октября 2018 ===
+== Лекция 14 ==
+Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единицы, первообразные корни.
+__Многочлены__: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов **Z**_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]). Единственность кольца многочленов с точностью до изоморфизма.
+Множество K^∞ финитных последовательностей элементов кольца K как модель кольца многочленов: определение операций, свойства сложения (K^∞ — абелева группа), коммутативность умножения.
+----
+=== 31 октября 2018 ===
+== Лекция 15 ==
+Проверка аксиом кольца многочленов для K^∞ — завершение построения модели.
+__Целостные кольца__ (__области целостности__). Кольцо многочленов над областью целостности целостно. Аддитивность степени многочлена. Обратимые элементы в кольце многочленов над областью целостности.
+Многочлены над полем и полиномиальные функции. __Задача о (полиномиальной) интерполяции__. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа. Число различных корней многочлена не превосходит его степени. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов над бесконечным полем.
+__Деление с остатком__ в кольце многочленов над полем (формулировка).
+----
+=== 7 ноября 2018 ===
+== Лекция 16 ==
+Доказательство теоремы о делении многочленов с остатком. Теорема Безу. Корни многочленов, __кратность__ корня, простые и кратные корни. Число корней многочлена, с учётом их кратностей, не превосходит его степени.
+__Производная__ многочлена, её свойства. Высшие производные. Связь кратности корня со значениями производных.
+Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. __Формула Тейлора__.
+Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы.
+----
+=== 12 ноября 2018 ===
+== Лекция 17 ==
+__Наибольший общий делитель__ (НОД) двух элементов целостного кольца, его единственность с точностью до ассоциированности. __Евклидовы кольца__, примеры. Существование НОД в евклидовом кольце, __алгоритм Евклида__ для его нахождения. Линейное выражение НОД через исходные элементы.
+__Простые элементы__ целостного кольца, примеры: простые числа и __неприводимые многочлены__. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. __Факториальные кольца__, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители. Пример нефакториального целостного кольца.
+----
+=== 14 ноября 2018 ===
+== Лекция 18 ==
+Неприводимость многочлена зависит от поля коэффициентов. Многочлены 1-й степени неприводимы над любым полем. Неприводимые многочлены степени >1 не имеют корней (над данным полем).
+__Основная теорема алгебры комплексных чисел__ (ОТА): любой многочлен положительной степени над полем **C** имеет комплексный корень. Её следствия: неприводимые многочлены над полем **C** — это многочлены 1-й степени, разложение многочлена над полем **C** на линейные множители, число комплексных корней многочлена, с учётом кратностей, равно степени многочлена. Алгебраически замкнутые поля.
+Основные понятия и факты математического анализа над полем **C**: ε-окрестности, пределы последовательностей и функций, непрерывность, существование минимума **R**-значной непрерывной функции на компакте. Лемма о неограниченном возрастании модуля многочлена. Лемма Д'Алабмера. Доказательство ОТА.
+Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем **R**.
+----
+=== 21 ноября 2018 ===
+== Лекция 19 ==
+Проблема приближённого вычисления действительных (комплексных) корней многочлена сводится к нахождению количества корней в заданном интервале (заданной области). Теорема Декарта (правило знаков), оценка числа действительных корней (с учётом кратности) по одну сторону от заданной границы. Избавление от кратных корней (над полем характеристики 0).
+Дроби над целостным кольцом как классы эквивалентности пар элементов кольца, определение алгебраических операций над дробями.
+----
+=== 26 ноября 2018 ===
+== Лекция 20 ==
+Свойства алгебраических операций над дробями, __поле дробей__ целостного кольца.
+Поле рациональных дробей K(x). Интерпретация рациональных дробей как функций.
+__Несократимые дроби__. Представление элемента поля K(x) несократимой дробью, его единственность.
+__Правильные дроби__. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, его единственность.
+__Простейшие дроби__, их описание над полями **C** и **R**. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
+Кольцо K[x_1,...,x_n] __многочленов от нескольких переменных__ над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма (без доказательства).
+----
+=== 28 ноября 2018 ===
+== Лекция 21 ==
+Доказательство единственности кольца многочленов от нескольких переменных (с точностью до изоморфизма) и его существования (путём индуктивного построения).
+Полиномиальные функции от нескольких переменных. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов от нескольких переменных над бесконечным полем.
+Степень одночлена и многочлена (полная и по отдельным переменным), __однородные многочлены__, разложение многочлена в сумму однородных компонент.
+__Лексикографический порядок__ на одночленах, его свойства. __Старший член__ ненулевого многочлена. Старший член произведения многочленов над целостным кольцом K, целостность кольца K[x_1,...,x_n].
+Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, __примитивные многочлены__, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец **Z**[x] и K[x_1,...,x_n], где K — поле.
+----
+=== 10 декабря 2018 ===
+== Лекция 22 ==
+__Симметрические многочлены__: определение и примеры. Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены.
+Теорема Виета: выражение значений элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.
+Основная теорема о симметрических многочленах: существование и единственность выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.
+Выражение значения симметрического многочлена на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.
+__Дискриминант__ многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
+----
+=== 12 декабря 2018 ===
+== Лекция 23 ==
+Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена. Инвариантность дискриминанта относительно сдвига переменной на константу, сведение к дискриминанту неполного многочлена. Дискриминант неполного кубического трёхчлена, его связь с количеством вещественных корней.
+__Результант__ двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной.
+----
+=== 19 декабря 2018 ===
+== Лекция 24 ==
+Возведение элемента группы в целую степень, свойства степени.
+__Порядок__ элемента группы, его свойства. Пример: порядок подстановки.
+Циклическая подгруппа, порождённая элементом группы, __циклические группы__, примеры: аддитивные группы колец **Z** и **Z**_m. Порядок циклической группы, все циклические группы одного порядка изоморфны (пример: группа комплексных корней степени m из 1 изоморфна **Z**_m). Описание подгрупп циклической группы.
+Смежность элементов группы G слева по подгруппе H — отношение эквивалентности. Левые __смежные классы__ в G по H, __индекс__ подгруппы. Пример: смежность и смежные классы в **Z** по m**Z**. Смежность справа и правые смежные классы.
+__Теорема Лагранжа__ о подгруппах в конечных группах и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах.