Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции проходят по понедельникам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. П4 на каждой чётной неделе и по средам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 16-10.

1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
2. Э.Б.Винберг. Курс алгебры.

Системы линейных уравнений (СЛУ) и их решения. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений и их матриц. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛУ.

Метод Гаусса решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида. Пример решения СЛУ методом Гаусса.

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), их совместность. ОСЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

Векторные пространства (вещественные): определение, примеры (геометрические векторы, арифметическое пространство R^n, пространство функций на множестве), простейшие следствия аксиом (единственность нулевого и противоположного векторов, умножение вектора на 0 и -1, умножение нулевого вектора на число).

Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. Линейная зависимость, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Основная лемма о линейной зависимости. Обобщение на бесконечные системы векторов.