Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [29.08.2025 17:34]
gordienko создано
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [13.10.2025 00:45] (текущий)
gordienko
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
-----
+**[[https://disk.yandex.ru/i/wy2qk_98eamZPA|Программа коллоквиума]]**
+) **04.09.2025.** Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.
+__Упражнение.__ Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел.
+Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица.
+ __Упражнение.__ Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$. Обозначим через $E_n$ единичную матрицу размера $n \times n$. Доказать, что $A E_n = A$.
+Некоммутативность умножения матриц.
+) **08.09.2025.** Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$.
+__Упражнение.__ Из свойств вещественных чисел вывести, что
+$A(C+D)=AC+AD$,
+$(A+B)C=AC+BC$,
+$(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC)$,
+где $A,B,C,D$ - матрицы соответствующих размеров, а $\lambda$ - вещественное число.
+Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.
+__Упражнение:__ $(A+B)^T = A^T+B^T$,
+$(\alpha A)^T = \alpha A^T$,
+$(AB)^T = B^T A^T$.
+Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.
+) **15.09.2025.** Равенство $0v=0$.
+Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в $\mathbb R^n$. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц.
+) **18.09.2025.** Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.
+__Упражнение.__ Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.
+Линейные отображения.
+__Упражнение.__ Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.
+__Упражнение.__ Композиция линейных отображений линейна.
+Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у.
+) **22.09.2025.** Ранг транспонированной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Циклы и транспозиции.
+) **29.09.2025.** Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. __Упражнение:__ показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. __Упражнение:__ ядро и образ гомоморфизма - подгруппы. Знакопеременная группа $A_n$. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$.
+) **02.10.2025.** Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение $S_n$ в дизъюнктное объединение $A_n$ и $\sigma A_n$, где $\sigma$ - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы.  Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя.
+) ** 06.10.2025.** Определитель произведения матриц.
+Определитель с углом нулей.
+__Упражнение.__ Показать, что формула вычисления определителя $\det A \det D-\det B \det C$ в общем случае неверна для определителей блочных матриц
+ $$\begin{pmatrix} A B  \\
+ C D \end{pmatrix}$$
+даже в случае квадратных блоков $A$, $B$, $C$, $D$ одинакового размера.
+Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.
+__Упражнение.__ $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ для всех $a,b \in G$, где $G$ --- произвольная группа.
+Обратная матрица.
+**[[https://disk.yandex.ru/i/VIbaB9l8laLgxA|Лекции по алгебре, 1 семестр (в процессе написания)]]**
 __Литература.__
@@ Строка 8: / Строка 77: @@
   - Кострикин А.И. Введение в алгебру.
   - Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
-  - Винберг Э.Б. Курс алгебры.
+  - Винберг Э.Б. Курс алгебры. (Книга может оказаться сложной для изучения в первой половине семестра, поскольку изложение линейной алгебры ведётся сразу над произвольным полем, а в нашем курсе поля появятся только в середине семестра.)
   - Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)