Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [04.11.2025 14:30]
gordienko
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [28.11.2025 14:39] (текущий)
gordienko
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 **[[https://disk.yandex.ru/i/wy2qk_98eamZPA|Программа коллоквиума]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/dX5pE2RQ926JJQ|Программа экзамена]]**
 ) **04.09.2025.** Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.
@@ Строка 106: / Строка 108: @@
 Наибольший общий делитель (НОД). Единственность НОД с точностью до обратимых множителей. Евклидовы кольца.
+) **10.11.2025.** Существование единицы в евклидовом кольце. Алгоритм Евклида. Существование $\text{НОД}(a,b)$ и его выражение через $a$ и $b$ в евклидовых кольцах. НОД в евклидовых кольцах. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец. Производная многочлена и её свойства. (Доказали линейность.)
+) **13.11.2025.** Доказали правило Лейбница. Кратные корни. Поиск кратных корней. Вычисление всех производных многочлена в конкретной точке при помощи схемы Горнера. Формула Тейлора. Поле частных целостного кольца. Рациональные дроби.
+) **17.11.2025.** Простейшие дроби. Разложение произвольного элемента поля частных $Q(R)$ евклидова кольца $R$ в сумму элемента кольца $R$ и простейших дробей. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Единственность разложения для случая, когда $R$ - кольцо многочленов над полем, и отсутствие единственности, когда $R$ - кольцо целых чисел. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Лексикографическое упорядочение. Теорема о строении кольца симметрических многочленов. Алгебраическая независимость элементарных симметрических многочленов.
+) **24.11.2025.** Формулы Виета. Определитель матрицы с элементами из произвольного коммутативного кольца с 1 и его свойства.  Результант двух многочленов. Критерий равенства результанта нулю. Результант как функция корней. Дискриминант многочлена. Связь дискриминанта и результанта.
+) **27.11.2025.** Дискриминант многочлена второй степени.
+ Лемма Гаусса. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами.
+__Упражнение*__: результант неприводим как многочлен от $a_0$, …, $a_m$, $b_0$, …, $b_n$ над любым полем.
+__Упражнение*__: дискриминант неприводим как многочлен от $a_0$, …, $a_n$ над любым полем характеристики, отличной от $2$.
+Признак неприводимости Эйзенштейна.
+(Продолжение следует.)
+__Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.
 **[[https://disk.yandex.ru/i/VIbaB9l8laLgxA|Лекции по алгебре, 1 семестр (в процессе написания)]]**