Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

1) 04.09.2025. Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.

Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел.

Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица.

Упражнение. Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$. Обозначим через $E_n$ единичную матрицу размера $n \times n$. Доказать, что $A E_n = A$.

Некоммутативность умножения матриц.

2) 08.09.2025. Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$.

Упражнение. Из свойств вещественных чисел вывести, что

$A(C+D)=AC+AD$,

$(A+B)C=AC+BC$,

$(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC)$,

где $A,B,C,D$ - матрицы соответствующих размеров, а $\lambda$ - вещественное число.

Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.

Упражнение: $(A+B)^T = A^T+B^T$,

$(\alpha A)^T = \alpha A^T$,

$(AB)^T = B^T A^T$.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.

3) 15.09.2025. Равенство $0v=0$. Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в $\mathbb R^n$. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц.

4) 18.09.2025. Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.

Упражнение. Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.

Линейные отображения.

Упражнение. Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.

Упражнение. Композиция линейных отображений линейна.

Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у.

5) 22.09.2025. Ранг транспонированной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Циклы и транспозиции.

6) 29.09.2025. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. Упражнение: показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. Упражнение: ядро и образ гомоморфизма - подгруппы. Знакопеременная группа $A_n$. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$.

7) 02.10.2025. Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение $S_n$ в дизъюнктное объединение $A_n$ и $\sigma A_n$, где $\sigma$ - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя.

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
3. Винберг Э.Б. Курс алгебры.
4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)