Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_2_поток_весна_2025 [16.02.2025 19:50]
chubarov создано
+++ лекции_1_курс_2_поток_весна_2025 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-*Лекции по линейной алгебре и геометрии в весеннем семестре 2025 года читаются в аудитории П4, 2 Гум корпус, по пятницам в 10.45 и по понедельникам в 13.15.*
+**Лекции по линейной алгебре и геометрии для 2 потока 1 курса в весеннем семестре 2025 года читаются в аудитории П4, 2 Гум корпус, по пятницам в 10.45 и по понедельникам в 13.15.**
+==Лекция 1, 7 февраля==
+Краткое содержание. (Во многом это повторение 1 семестра)
+==$1. Векторные пространства. Основные понятия и утверждения.==
+Аксиомы векторного пространства (ВП)(над произвольным полем F). Загадка: одна из аксиом является следствием других; определите (обоснованно), какая.
+Определение базиса и размерности. Матричная запись разложения по базису, операции с координатами.
+Матрица перехода C_{e –> e'} от старого базиса к новому, определение (матричное), ее свойства. Формула замены координат вектора. Алгоритм вычисления матрицы перехода.
+==$2. Подпространства==
+Определение, примеры пространств с подпространствами.
+Экзотический пример: множество всех подмножеств данного множества с операцией симметрической разности как ВП над полем Z_2 (без проверки всех свойств).
+Упомянуты два основных способа задания подпространств: 1. Как линейной оболочки. 2. Системой линейных уравнений. Переход от 1 к 2 будет рассказан на 2-й лекции.
+==Лекция 2, 10 февраля==
+Блочные матрицы, умножение блочной строки на блочный столбец. Переход от 2 к 1: алгоритм построения (стандартной) фундаментальной системы решений ОСЛУ. Фундаментальная матрица, ее запись по улучшенному ступенчатому виду матрицы системы (с отброшенными нулевыми строками) в блочном виде.
+Переход от 1 к 2. Два способа. 1)способ. Данные векторы представить как фундаментальную матрицу искомой системы. Предварительно матрицу из строк данных векторов упростить до улучшенного ступенчатого вида, транспонировать - это будет стандартная фундаментальная матрица. А по ней записать матрицу системы (имеющую улучшенный ступенчатый вид).
+) способ. К матрице из столбцов координат данных векторов приписать столбец координат произвольного вектора из линейной оболочки, э.п.строк привести матрицу к ступенчатому виду. Комбинации неизвестных, продолжающие нулевые строки, приравнять к нулю.
+==$3. Пересечение и сумма подпространств.==
+Утв.1.а) Пересечение любого семейства подпространств - подпространство. б). Объединение даже двух может не быть подпространством.
+Определение суммы конечного числа подпространств.
+ Утв. 2. Сумма - подпространство. Формула Грассмана для размерности суммы двух подпространств - дана идея доказательства. Вопрос: можно ли размерность суммы трех подпространств вычислять также по формуле включений-исключений?
+==Лекция 3, 14.02==
+Окончание доказательства формулы Грассмана.
+Алгоритм для поиска размерностей и базисов суммы и пересечения. Пусть в некотором базисе пространства V известны координаты базисных векторов a_1,…,a_{n_1} подпространства U_1 и b_1,…,b_{n_2} подпространства U_2.1) Составить из столбцов координат этих векторов матрицу, э.п. строк привести ее к улучшенному ступенчатому виду и тем самым выделить базис суммы, включая, скажем, базис первого подпространства и m векторов b_1,…,b_m второго подпространства, с точностью до нумерации. (n_1+m= dim(U_1+U_2)). Тогда размерность пересечения равна n_2 - m.
+) Выразить векторы b_j (j=m+1,…,n_2) в виде линейной комбинации векторов a_1,…,a_{n_1} и b_1,…,b_m. Перенеся для каждого j линейную комбинацию b_1,…,b_m к вектору b_j, получим базис пересечения.
+==$4. Прямая сумма==
+Определение прямой суммы конечного числа подпространств (сумма и единственность представления в виде суммы). Теорема 1. 4 равносильных условия для прямой суммы двух подпространств: 1. Определение. 2. Нулевое пересечение. 3. Размерность суммы. 4. Базис суммы - объединение базисов слагаемых --- с док-вом. Теорема 1'. Для любого конечного числа подпространств: условие 2 для пересечения изменяется.
+Алгоритм дополнения конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного ВП: составить матрицу из столбцов координат данных векторов, дописать к ней единичную матрицу, выделить базисные столбцы полученной расширенной матрицы, включая данные векторы.
+==Утв. Существование для любого подпространства в конечномерном пространстве прямого дополнения.==
+==Внешняя прямая сумма пространств,==
+ сведение ее к прямой сумме подпространств.
+Определение факторпространства V/U. Будет развито на лекции 4.