• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    лекции_1_курс_2_поток_весна_2025 [16.02.2025 20:02]
    chubarov     		лекции_1_курс_2_поток_весна_2025 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 2: Строка 2:
     **Лекции по линейной алгебре и геометрии для 2 потока 1 курса в весеннем семестре 2025 года читаются в аудитории П4, 2 Гум корпус, по пятницам в 10.45 и по понедельникам в 13.15.** **Лекции по линейной алгебре и геометрии для 2 потока 1 курса в весеннем семестре 2025 года читаются в аудитории П4, 2 Гум корпус, по пятницам в 10.45 и по понедельникам в 13.15.**
      
    -Лекция 1, 7 февраля+==Лекция 1, 7 февраля==
      
     Краткое содержание. (Во многом это повторение 1 семестра) Краткое содержание. (Во многом это повторение 1 семестра)
      
    -$1. Векторные пространства. Основные понятия и утверждения.+==$1. Векторные пространства. Основные понятия и утверждения.==
      
     Аксиомы векторного пространства (ВП)(над произвольным полем F). Загадка: одна из аксиом является следствием других; определите (обоснованно), какая. Аксиомы векторного пространства (ВП)(над произвольным полем F). Загадка: одна из аксиом является следствием других; определите (обоснованно), какая.
    Строка 13: Строка 13:
      
     Определение базиса и размерности. Матричная запись разложения по базису, операции с координатами. Определение базиса и размерности. Матричная запись разложения по базису, операции с координатами.
    - 
    -Линейное отображение, изоморфизм. Теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств. (В частности, изоморфизм с пространством столбцов F^n.) 
      
     Матрица перехода C_{e –> e'} от старого базиса к новому, определение (матричное), ее свойства. Формула замены координат вектора. Алгоритм вычисления матрицы перехода. Матрица перехода C_{e –> e'} от старого базиса к новому, определение (матричное), ее свойства. Формула замены координат вектора. Алгоритм вычисления матрицы перехода.
      
    -$2. Подпространства+==$2. Подпространства==
      
     Определение, примеры пространств с подпространствами. Определение, примеры пространств с подпространствами.
    Строка 25: Строка 23:
      
     Упомянуты два основных способа задания подпространств: 1. Как линейной оболочки. 2. Системой линейных уравнений. Переход от 1 к 2 будет рассказан на 2-й лекции. Упомянуты два основных способа задания подпространств: 1. Как линейной оболочки. 2. Системой линейных уравнений. Переход от 1 к 2 будет рассказан на 2-й лекции.
    -Лекция 2, 12 февраля 
      
     +==Лекция 2, 10 февраля==
      
      
     Блочные матрицы, умножение блочной строки на блочный столбец. Переход от 2 к 1: алгоритм построения (стандартной) фундаментальной системы решений ОСЛУ. Фундаментальная матрица, ее запись по улучшенному ступенчатому виду матрицы системы (с отброшенными нулевыми строками) в блочном виде. Блочные матрицы, умножение блочной строки на блочный столбец. Переход от 2 к 1: алгоритм построения (стандартной) фундаментальной системы решений ОСЛУ. Фундаментальная матрица, ее запись по улучшенному ступенчатому виду матрицы системы (с отброшенными нулевыми строками) в блочном виде.
      
    -Переход от 1 к 2. Два способа. 1)способ. Данные векторы представить как фундаментальную матрицу искомой системы. Предварительно матрицу из строк данных векторов упростить до улучшенного ступенчатого вида, транспонировать - это будет стандартная фундаментальная матрица. А по ней записать матрицу системы (имеющую улучшенный ступенчатый вид). 2) способ. К матрице из столбцов координат данных векторов приписать столбец координат произвольного вектора из линейной оболочки, э.п.строк привести матрицу к ступенчатому виду. Комбинации неизвестных, продолжающие нулевые строки, приравнять к нулю. +Переход от 1 к 2. Два способа. 1)способ. Данные векторы представить как фундаментальную матрицу искомой системы. Предварительно матрицу из строк данных векторов упростить до улучшенного ступенчатого вида, транспонировать - это будет стандартная фундаментальная матрица. А по ней записать матрицу системы (имеющую улучшенный ступенчатый вид). 
    -$3. Пересечение и сумма подпространств.+ 2) способ. К матрице из столбцов координат данных векторов приписать столбец координат произвольного вектора из линейной оболочки, э.п.строк привести матрицу к ступенчатому виду. Комбинации неизвестных, продолжающие нулевые строки, приравнять к нулю. 
     + 
     +==$3. Пересечение и сумма подпространств.==
      
     Утв.1.а) Пересечение любого семейства подпространств - подпространство. б). Объединение даже двух может не быть подпространством. Утв.1.а) Пересечение любого семейства подпространств - подпространство. б). Объединение даже двух может не быть подпространством.
      
    -Определение суммы конечного числа подпространств. Утв. 2. Сумма - подпространство. Формула для размерности суммы двух подпространств - доказана не до конца. Вопрос: можно ли размерность суммы трех подпространств вычислять также по формуле включений-исключений? +Определение суммы конечного числа подпространств. 
    -Лекция 3, 16.02+ 
     + Утв. 2. Сумма - подпространство. Формула Грассмана для размерности суммы двух подпространств - дана идея доказательства. Вопрос: можно ли размерность суммы трех подпространств вычислять также по формуле включений-исключений? 
     + 
     +==Лекция 3, 14.02==
      
     Окончание доказательства формулы Грассмана. Окончание доказательства формулы Грассмана.
      
    -Алгоритм для поиска размерностей и базисов суммы и пересечения. Пусть в некотором базисе пространства V известны координаты базисных векторов a_1,…,a_{n_1} подпространства U_1 и b_1,…,b_{n_2} подпространства U_2.1) Составить из столбцов координат этих векторов матрицу, э.п. строк привести ее к улучшенному ступенчатому виду и тем самым выделить базис суммы, включая, скажем, базис первого подпространства и k векторов b_1,…,b_k второго подпространства, с точностью до нумерации. (n_1+k=m= dim(U_1+U_2)). Тогда размерность пересечения равна n_2 - k.2) Выразить векторы b_j (j=k+1,…,n_2) в виде линейной комбинации векторов a_1,…,a_{n_1} и b_1,…,b_k. Перенеся для каждого j линейную комбинацию b_1,…,b_k к вектору b_j, получим базис пересечения.+Алгоритм для поиска размерностей и базисов суммы и пересечения. Пусть в некотором базисе пространства V известны координаты базисных векторов a_1,…,a_{n_1} подпространства U_1 и b_1,…,b_{n_2} подпространства U_2.1) Составить из столбцов координат этих векторов матрицу, э.п. строк привести ее к улучшенному ступенчатому виду и тем самым выделить базис суммы, включая, скажем, базис первого подпространства и m векторов b_1,…,b_m второго подпространства, с точностью до нумерации. (n_1+m= dim(U_1+U_2)). Тогда размерность пересечения равна n_2 - m.  
     +2) Выразить векторы b_j (j=m+1,…,n_2) в виде линейной комбинации векторов a_1,…,a_{n_1} и b_1,…,b_m. Перенеся для каждого j линейную комбинацию b_1,…,b_m к вектору b_j, получим базис пересечения.
      
    -$4. Прямая сумма+==$4. Прямая сумма==
      
     Определение прямой суммы конечного числа подпространств (сумма и единственность представления в виде суммы). Теорема 1. 4 равносильных условия для прямой суммы двух подпространств: 1. Определение. 2. Нулевое пересечение. 3. Размерность суммы. 4. Базис суммы - объединение базисов слагаемых --- с док-вом. Теорема 1'. Для любого конечного числа подпространств: условие 2 для пересечения изменяется. Определение прямой суммы конечного числа подпространств (сумма и единственность представления в виде суммы). Теорема 1. 4 равносильных условия для прямой суммы двух подпространств: 1. Определение. 2. Нулевое пересечение. 3. Размерность суммы. 4. Базис суммы - объединение базисов слагаемых --- с док-вом. Теорема 1'. Для любого конечного числа подпространств: условие 2 для пересечения изменяется.
    Строка 49: Строка 53:
     Алгоритм дополнения конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного ВП: составить матрицу из столбцов координат данных векторов, дописать к ней единичную матрицу, выделить базисные столбцы полученной расширенной матрицы, включая данные векторы. Алгоритм дополнения конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного ВП: составить матрицу из столбцов координат данных векторов, дописать к ней единичную матрицу, выделить базисные столбцы полученной расширенной матрицы, включая данные векторы.
      
    -Утв. Существование для любого подпространства в конечномерном пространстве прямого дополнения.+==Утв. Существование для любого подпространства в конечномерном пространстве прямого дополнения.==
      
    -Внешняя прямая сумма пространств, сведение ее к прямой сумме подпространств.+==Внешняя прямая сумма пространств,== 
     + сведение ее к прямой сумме подпространств.
      
     Определение факторпространства V/U. Будет развито на лекции 4. Определение факторпространства V/U. Будет развито на лекции 4.
    лекции_1_курс_2_поток_весна_2025.1739725379.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения