• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    лекции_1_курс_2_поток_осень_2015 [18.10.2015 10:18]
    vinberg     		лекции_1_курс_2_поток_осень_2015 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 10: Строка 10:
          
     Лекция 3 (11 сентября).   Лекция 3 (11 сентября).  
    -Коиплексное сопряжение, его свойства. +Комплексное сопряжение, его свойства. 
      
     Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.   Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.  
    Строка 81: Строка 81:
      
     Лекция 10 (14 октября). Лекция 10 (14 октября).
    -Линейность и кососимметричность определителя по строкам матрицы. Сохранение определителя матрицы при элементарном пребразовании 1-го типа (добавлении к одной строке другой, умноженной на число). Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду элементарными преобразованиями строк.+Линейность и кососимметричность определителя по строкам матрицы. Сохранение определителя матрицы при элементарном преобразовании 1-го типа (добавлении к одной строке другой, умноженной на число). Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду элементарными преобразованиями строк.
      
     Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.
    Строка 87: Строка 87:
     Теорема. Всякая функция на множестве квадратных матриц заданного порядка, кососимметрическая и линейная по строкам матрицы и равная 1 на единичной матрице, есть определитель. (Без доказательства.) Теорема. Всякая функция на множестве квадратных матриц заданного порядка, кососимметрическая и линейная по строкам матрицы и равная 1 на единичной матрице, есть определитель. (Без доказательства.)
      
    -Геометрическая интерпретация опрелелителя матрицы порядка 3 над полем R как объема параллелепипеда.+Геометрическая интерпретация определителя матрицы порядка 3 над полем R как объема параллелепипеда.
      
     Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.
    Строка 100: Строка 100:
     Правило Крамера. Явное выражение элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Явное выражение элементов обратной матрицы.
      
     +Лекция 12 (24 октября).
     +Применение определителя Вандермонда к задаче интерполяции.
     +Следствие: многочлен степени n не может иметь >n различных корней.
      
     +Для квадратной матрицы A порядка n следующие условия эквивалентны: 
     +  1) матрица A обратима;
     +  2) det A \neq 0;
     +  3) rk A=n, т.е. строки (столбцы) линейно независимы.
     +Матрицы, удовлетворяющие этим условиям, называются невырожденными.
     +
     +Подматрицы и миноры (прямоугольной) матрицы.
     +
     +Теорема. Ранг матрицы равен наибольшему порядку ее миноров, отличных от нуля.  
     +
     +Их доказательства этой теоремы вытекает метод нахождения ранга матрицы окаймлением миноров.
     +
     +Лекция 13 (28 октября).
     +Понятие алгебры над полем K. Таблица умножения базисных векторов конечномерной алгебры определяет алгебру и может быть задана произвольным образом. Коммутативность и ассоциативность достаточно проверить для базисных векторов. Примеры: поле C как двумерная алгебра над R, алгебра матриц, алгебра кватернионов.
     +
     +Для бесконечномерных векторных пространств понятия линейной зависимости, линейной оболочки и базиса определяются так же, как для конечномерных, если условиться рассматривать только такие линейные комбинации бесконечных систем векторов, в которых лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Все сказанное о таблицах умножения конечномерных алгебр переносится тогда на бесконечномерные алгебры.
     +
     +Алгебра многочленов R[x] как подалгебра алгебры функций. 
     +Из теоремы об интерполяции следует, что если два многочлена равны тождественно (как функции), то равны их соответствующие коэффициенты. Базис и таблица умножения алгебры R[x].
     +
     +Построение алгебры многочленов K[x] над произвольным полем K как счетномерной алгебры с базисом {e_0, e_1, e_2,...} и таблицей умножения e_ke_l=e_{k+l}. Это коммутативная ассоциативная алгебра с единицей e_0. Переход к обычной записи многочленов.
     +
     +Степень deg f многочлена f. Степень суммы и произведения многочленов.
     +
     +Функция, определяемая многочленом. Если поле K бесконечно, то из функционального равенства многочленов следует равенство их коэффициентов. (Доказывается так же, как в случае K=R.) 
     +
     +Деление многочленов с остатком.
     +
     +Лекция 14 (31 октября).
     +Деление многочлена с остатком на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера.
     +
     +Разложение многочлена по степеням x-c. Формула Тейлора (для поля нулевой характеристики).
     +
     +Следствие теоремы Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что число корней многочлена степени n с учетом их кратностей не превосходит n, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда многочлен разлагается на линейные множители. Формулы Виета.
     +
     +Определение кратности корня многочлена через значения производных (для поля нулевой характеристики). Геометрический смысл кратности корня в случае K=R.
     +
     +Лекция 15 (7 ноября).
     +Основная теорема алгебры комплексных чисел и ее следствия о разложении на линейные множители и числе корней.
     +
     +Свойство мнимых корней многочлена с вещественными коэффициентами.
     +
     +Лекция 16 (11 ноября).
     +Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратные множители с отрицательным дискриминантом.
     +
     +Проблема отделения вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами. Теорема Декарта.
     +
     +Лекция 17 (14 ноября).
     +Целостные кольца. Наибольший общий делитель элементов целостного кольца, его единственность с точностью до ассоциированности в тех случаях, когда он существует.
     +
     +Евклидовы кольца. Существование и линейное выражение наибольшего общего делителя элементов евклидова кольца.
     +
     +Разложение на простые множители в евклидовом кольце. Описание всех делителей элемента евклидова кольца.
     + 
     +Лекция 18 (21 ноября).
     +Многочлены с рациональными коэффициентами. Примитивные многочлены с целыми коэффициентами.
     +Редукция по модулю p. Лемма Гаусса. Неприводимость над Q многочлена деления круга на p частей.
     +
     +Многочлены от нескольких переменных. Совпадение функционального и формального равенства многочленов над бесконечным полем.
     +
     +Степень одночлена. Однородные многочлены. Однородные компоненты многочлена.
     +
     +Лексикографическое упорядочение одночленов, его свойства.
     + 
     +Лекция 19 (25 ноября).
     +Старший член произведения ненулевых многочленов и отсутствие делителей нуля в кольце многочленов от n переменных. Степень произведения многочленов.
     +
     +Симметрические многочлены, их (однозначное) представление в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов.
     +
     +Лекция 20 (28 ноября).
     +Дискриминант многочлена. Вычисление дискриминанта неполного кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами по его дискриминанту.
     +
     +Поле рациональных дробей. Правильные дроби. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и правильной дроби.
     +
     +Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей (без доказательства единственности).
     +
     +Лекция 21 (5 декабря).
     +Понятия группы, подгруппы и изоморфизма групп.
     +Аддитивная группа кольца, мультипликативная группа поля, аддитивная группа векторного пространства, группа невырожденных матриц, группа движений евклидовой плоскости (пространства), группа подстановок. Примеры подгрупп этих групп.
     +
     +Лекция 22 (9 декабря).
     +Гомоморфизмы групп. Образ и ядро гомоморфизма. Полный прообраз элемента образа при гомоморфизме.
     +
     +Левая (правая) сравнимость элементов группы по модулю подгруппы. Разбиение группы на левые (правые) смежные классы по подгруппе. Биекция между множествами левых и правых смежных классов. 
     +
     +Конечные группы. Порядок группы и индекс подгруппы.
     +Теорема Лагранжа и ее следствие: порядок подгруппы делит порядок группы. 
     +
     +Изоморфизм группы вращений куба и группы S_4. Гомоморфизм группы S_4 на группу S_3, его ядро.
     +
     +Лекция 23 (12 декабря).
     +Степени элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденная элементом. Порядок элемента.
     +
     +Графическое изображение подстановки и нахождение ее порядка.
     +
     +Теорема: порядок элемента a конечной группы G делит порядок группы. Следствие: a^|G|=e. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
     +
     +Циклические группы. Изоморфность циклических групп одного порядка. Группы простого порядка.
     + 
     +Лекция 24 (19 декабря).
     +Подгруппы циклических групп.
     +
     +Цикличность мультипликативной группы конечного поля.
     +
     +Квадратичные вычеты по модулю p. Теорема о том, что -1 является квадратичные вычетом по модулю p>2 тогда и только тогда, когда p=4k+1.
     +
     +Конечное поле как конечномерная алгебра над Z_p.
     +Число элементов конечного поля. Построение поля из p^2 элементов.
    лекции_1_курс_2_поток_осень_2015.1445152681.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения