• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    лекции_1_курс_2_поток_осень_2015 [29.10.2015 10:12]
    vinberg     		лекции_1_курс_2_поток_осень_2015 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 10: Строка 10:
          
     Лекция 3 (11 сентября).   Лекция 3 (11 сентября).  
    -Коиплексное сопряжение, его свойства. +Комплексное сопряжение, его свойства. 
      
     Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.   Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.  
    Строка 81: Строка 81:
      
     Лекция 10 (14 октября). Лекция 10 (14 октября).
    -Линейность и кососимметричность определителя по строкам матрицы. Сохранение определителя матрицы при элементарном пребразовании 1-го типа (добавлении к одной строке другой, умноженной на число). Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду элементарными преобразованиями строк.+Линейность и кососимметричность определителя по строкам матрицы. Сохранение определителя матрицы при элементарном преобразовании 1-го типа (добавлении к одной строке другой, умноженной на число). Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду элементарными преобразованиями строк.
      
     Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.
    Строка 87: Строка 87:
     Теорема. Всякая функция на множестве квадратных матриц заданного порядка, кососимметрическая и линейная по строкам матрицы и равная 1 на единичной матрице, есть определитель. (Без доказательства.) Теорема. Всякая функция на множестве квадратных матриц заданного порядка, кососимметрическая и линейная по строкам матрицы и равная 1 на единичной матрице, есть определитель. (Без доказательства.)
      
    -Геометрическая интерпретация опрелелителя матрицы порядка 3 над полем R как объема параллелепипеда.+Геометрическая интерпретация определителя матрицы порядка 3 над полем R как объема параллелепипеда.
      
     Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.
    Строка 112: Строка 112:
     Подматрицы и миноры (прямоугольной) матрицы. Подматрицы и миноры (прямоугольной) матрицы.
      
    -Теорема. Ранг матрицы равен наибольшему порядку ее миноров, отличеых от нуля.  +Теорема. Ранг матрицы равен наибольшему порядку ее миноров, отличных от нуля.  
      
     Их доказательства этой теоремы вытекает метод нахождения ранга матрицы окаймлением миноров. Их доказательства этой теоремы вытекает метод нахождения ранга матрицы окаймлением миноров.
    Строка 131: Строка 131:
      
     Деление многочленов с остатком. Деление многочленов с остатком.
     +
     +Лекция 14 (31 октября).
     +Деление многочлена с остатком на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера.
     +
     +Разложение многочлена по степеням x-c. Формула Тейлора (для поля нулевой характеристики).
     +
     +Следствие теоремы Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что число корней многочлена степени n с учетом их кратностей не превосходит n, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда многочлен разлагается на линейные множители. Формулы Виета.
     +
     +Определение кратности корня многочлена через значения производных (для поля нулевой характеристики). Геометрический смысл кратности корня в случае K=R.
     +
     +Лекция 15 (7 ноября).
     +Основная теорема алгебры комплексных чисел и ее следствия о разложении на линейные множители и числе корней.
     +
     +Свойство мнимых корней многочлена с вещественными коэффициентами.
     +
     +Лекция 16 (11 ноября).
     +Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратные множители с отрицательным дискриминантом.
     +
     +Проблема отделения вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами. Теорема Декарта.
     +
     +Лекция 17 (14 ноября).
     +Целостные кольца. Наибольший общий делитель элементов целостного кольца, его единственность с точностью до ассоциированности в тех случаях, когда он существует.
     +
     +Евклидовы кольца. Существование и линейное выражение наибольшего общего делителя элементов евклидова кольца.
     +
     +Разложение на простые множители в евклидовом кольце. Описание всех делителей элемента евклидова кольца.
     + 
     +Лекция 18 (21 ноября).
     +Многочлены с рациональными коэффициентами. Примитивные многочлены с целыми коэффициентами.
     +Редукция по модулю p. Лемма Гаусса. Неприводимость над Q многочлена деления круга на p частей.
     +
     +Многочлены от нескольких переменных. Совпадение функционального и формального равенства многочленов над бесконечным полем.
     +
     +Степень одночлена. Однородные многочлены. Однородные компоненты многочлена.
     +
     +Лексикографическое упорядочение одночленов, его свойства.
     + 
     +Лекция 19 (25 ноября).
     +Старший член произведения ненулевых многочленов и отсутствие делителей нуля в кольце многочленов от n переменных. Степень произведения многочленов.
     +
     +Симметрические многочлены, их (однозначное) представление в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов.
     +
     +Лекция 20 (28 ноября).
     +Дискриминант многочлена. Вычисление дискриминанта неполного кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами по его дискриминанту.
     +
     +Поле рациональных дробей. Правильные дроби. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и правильной дроби.
     +
     +Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей (без доказательства единственности).
     +
     +Лекция 21 (5 декабря).
     +Понятия группы, подгруппы и изоморфизма групп.
     +Аддитивная группа кольца, мультипликативная группа поля, аддитивная группа векторного пространства, группа невырожденных матриц, группа движений евклидовой плоскости (пространства), группа подстановок. Примеры подгрупп этих групп.
     +
     +Лекция 22 (9 декабря).
     +Гомоморфизмы групп. Образ и ядро гомоморфизма. Полный прообраз элемента образа при гомоморфизме.
     +
     +Левая (правая) сравнимость элементов группы по модулю подгруппы. Разбиение группы на левые (правые) смежные классы по подгруппе. Биекция между множествами левых и правых смежных классов. 
     +
     +Конечные группы. Порядок группы и индекс подгруппы.
     +Теорема Лагранжа и ее следствие: порядок подгруппы делит порядок группы. 
     +
     +Изоморфизм группы вращений куба и группы S_4. Гомоморфизм группы S_4 на группу S_3, его ядро.
     +
     +Лекция 23 (12 декабря).
     +Степени элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденная элементом. Порядок элемента.
     +
     +Графическое изображение подстановки и нахождение ее порядка.
     +
     +Теорема: порядок элемента a конечной группы G делит порядок группы. Следствие: a^|G|=e. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
     +
     +Циклические группы. Изоморфность циклических групп одного порядка. Группы простого порядка.
     + 
     +Лекция 24 (19 декабря).
     +Подгруппы циклических групп.
     +
     +Цикличность мультипликативной группы конечного поля.
     +
     +Квадратичные вычеты по модулю p. Теорема о том, что -1 является квадратичные вычетом по модулю p>2 тогда и только тогда, когда p=4k+1.
     +
     +Конечное поле как конечномерная алгебра над Z_p.
     +Число элементов конечного поля. Построение поля из p^2 элементов.
    лекции_1_курс_2_поток_осень_2015.1446102750.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения