Лекция 1 (2 сентября). Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Лекция 2 (5 сентября). Существование ненулевого решения системы m однородных линейных уравнений с n неизвестными при m<n. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

Определение поля. Построение поля комплексных чисел.

Лекция 3 (11 сентября). Коиплексное сопряжение, его свойства.

Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.

Определение кольца. Построение кольца вычетов по модулю n.

Лекция 4 (12 сентября). Теоремы о том, когда кольцо вычетов является полем и, в общем случае, какие его элементы обратимы. Характеристика поля. Тождество (x+y)^p=x^p+y^p в поле характеристики p.

Операции над (прямоугольными) матрицами, их свойства.

Лекция 5 (19 сентября) Правила умножения матриц в терминах строк и столбцов. Умножение на диагональную матрицу. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы как ее умножения на элементарные матрицы слева (справа).

Матричная запись системы линейных уравнений. Интерпретация элементарных преобразований системы как умножений на элементарные матрицы (слева).

Кольцо L_n(K) квадратных матриц порядка n над полем K - ассоциативное кольцо с единицей. Отсутствие коммутативности и наличие делителей нуля при n>1. Если матрицы A и B обратимы, то и матрица AB обратима, причем (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. Элементарные матрицы обратимы.

Левые и правые обратные элементы в ассоциативном кольце с единицей. Если у элемента есть левый и правый обратные элементы, то они единственны и совпадают друг с другом.

Теорема. Следующие свойства квадратной матрицы эквивалентны: (1) с помощью элементарных преобразований строк она приводится к строго треугольному виду; (2) она является произведением элементарных матриц; (3) она имеет правую обратную; (4) она обратима.

Лекция 6 (23 сентября). Решение матричных уравнений AX=B. Обращение матрицы.

Транспонирование матриц, его свойства.

Матричная модель поля C.

Определение векторного пространства. Простейшие следствия аксиом. Определение подпространства.

Лекция 7 (30 сентября). Линейная оболочка <S> множества S векторов. Порождающие системы векторов. Конечномерные векторные пространства.

Линейно (не)зависимые системы векторов. Три леммы о линейной зависимости.

Определение базиса векторного пространства. Координаты вектора в данном базисе.

Теорема. Во всяком конечномерном векторном пространстве существует базис. Более того, из всякой порождающей системы можно выбрать базис.

Теорема. Все базисы конечномерного векторного пространства равномощны.

Размерность dim V векторного пространства V.

Теорема. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

Лекция 8 (3 октября). Размерность подпространства.

Описание всех базисов векторного пространства. Формулы преобразования координат.

Базис и ранг системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Элементарные преобразования системы векторов.

Ранг матрицы (по строкам), его вычисление приведением матрицы к ступенчатому виду.

Критерии совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений.

Лекция 9 (10 октября). Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях ее строк. Равенство рангов систем строк и столбцов матрицы. Ранг произведения матриц.

Перестановки, их четность и знак. Изменение четности перестановки при любой транспозиции.

Определение определителя квадратной матрицы (с помощью явного выражения). Определители матриц порядков 1, 2. 3.

Лекция 10 (14 октября). Линейность и кососимметричность определителя по строкам матрицы. Сохранение определителя матрицы при элементарном пребразовании 1-го типа (добавлении к одной строке другой, умноженной на число). Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду элементарными преобразованиями строк.

Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Теорема. Всякая функция на множестве квадратных матриц заданного порядка, кососимметрическая и линейная по строкам матрицы и равная 1 на единичной матрице, есть определитель. (Без доказательства.)

Геометрическая интерпретация опрелелителя матрицы порядка 3 над полем R как объема параллелепипеда.

Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.

Лекция 11 (17 октября). Определитель Вандермонда.

Разложение определителя по строке (столбцу).

Определитель произведения матриц. Выражение объема (трехмерного) параллелепипеда через длины ребер и углы между ними.

Правило Крамера. Явное выражение элементов обратной матрицы.

Лекция 12 (24 октября). Применение определителя Вандермонда к задаче интерполяции. Следствие: многочлен степени n не может иметь >n различных корней.

Для квадратной матрицы A порядка n следующие условия эквивалентны:

1) матрица A обратима;
2) det A \neq 0;
3) rk A=n, т.е. строки (столбцы) линейно независимы.

Матрицы, удовлетворяющие этим условиям, называются невырожденными.

Подматрицы и миноры (прямоугольной) матрицы.

Теорема. Ранг матрицы равен наибольшему порядку ее миноров, отличеых от нуля.

Их доказательства этой теоремы вытекает метод нахождения ранга матрицы окаймлением миноров.