Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_2_поток_осень_2018 [03.10.2018 08:06]
arjantse
+++ лекции_1_курс_2_поток_осень_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 ----
+Курс завершен
+**Лекция 23** (15.12.2018) Левые и правые смежные классы. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и пять ее следствий.
+**Лекция 22** (11.12.2018) Изоморфизмы, эндоморфизмы и автоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Порядок группы. Числовые аддитивные и мультипликативные группы. Группы подстановок. Группы матриц. Группа кватернионов. Порядок элемента. Циклическая подгруппа. Циклическая группа. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Подгруппы циклических групп.
+**Лекция 21** (08.12.2018) Результант двух многочленов. Связь результанта и дискриминанта. Вычисление результанта через определитель (без доказательства). Группы и подгруппы. Гомоморфизмы групп.
+**Лекция 20** (01.12.2018) Симметрические многочлены. Примеры: степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена.
+**Лекция 19** (27.11.2018) Поле частных области целостности. Рациональные дроби, правильные дроби и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших (без доказательства единственности). Многочлены от многих переменных. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене.
+**Лекция 18** (24.11.2018) Связь неприводимости многочлена и наличия корня. Неприводимые многочлены над C и над R. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Теорема Декарта.
+**Лекция 17** (17.11.2018) Лемма о возрастании модуля. Лемма Даламбера. Доказательство основной теоремы алгебры. Отделение кратных корней.
+**Лекция 16** (13.11.2018) Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида. НОД и его существование. Лемма о линейном представлении НОД. Взаимно простые элементы. Неприводимые и простые элементы. Неприводимые многочлены. Однозначность разложения на простые множители в евклидовых кольцах. Основная теорема алгебры. Алгебраически замкнутое поле.
+**Лекция 15** (10.11.2018) Кратность корня. Формальная производная многочлена. Формула Тейлора. Понижение кратности корня при дифференцировании. Число корней многочлена с учетом кратности не превосходит степени. Области целостности.
+**Лекция 14** (03.11.2018) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Формальное и функциональное равенство многочленов. Задача интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о делении с остатком для многочленов. Теорема Безу.
+**Лекция 13** (30.10.2018) Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи. Сопряжение. Комплексная плоскость и тригонометрическая форма записи.  Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней. Корни из единицы. Первообразные корни.
+**Лекция 12** (27.10.2018) Кольца: обратимые элементы, делители нуля и нильпотенты. Примеры колец. Поля. Вычеты. Кольца вычетов, являющиеся полями. Характеристика поля.
+**Лекция 11** (20.10.2018) Теорема Крамера и формулы Крамера. Теорема о ранге матрицы. Множество с бинарной операцией, полугруппа, моноид, группа, абелева группа, мультипликативная и аддитивная форма записи, примеры групп.
+**Лекция 10** (16.10.2018) Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Фальшивое разложение. Присоединенная матрица. Формула для обратной матрицы. Определитель произведения матриц.
+**Лекция 9** (13.10.2018) Определитель верхнетреугольной матрицы. Свойства определителя: полилинейность, кососимметричность, неизменность при транспонировании. Изменение определителя при элементарных преобразованиях. Невырожденность равносильна отличию определителя от нуля. Определитель как единственная кососимметрическая полилинейная нормированная функция.
+**Лекция 8** (06.10.2018) Обратная подстановки. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Инверсия. Четность подстановки. Изменение четности при умножении на транспозицию. Число четных подстановок равно числу нечетных. Знак подстановки. Знак произведения. Четность обратной подстановки. Определение определителя формулой.
 **Лекция 7** (02.10.2018) След матрицы. Единичная матрица. Элементарные матрицы. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена. Ранг произведения матриц. Перестановки, их количество. Умножение подстановок. Ассоциативность. Единичная подстановка.