Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » лекции_1_курс_3_поток_осень_2015



      

Лекции 1 курс 3 поток. Лектор В.Т. Марков. Осень 2015

Конспект лекцийСписок вопросов к экзамену

ДатаСодержание лекции
24.11.2015Границы корней многочлена. Теорема Штурма. Построение стандартной системы Штурма.
23.11.2015Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа и метод Ньютона для его построения. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей(существование)
16.11.2015Формальная производная многочлена. Понижение кратности неприводимого множителя (корня) при дифференцировании, избавление от кратных множителей (корней). Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (доказательство - ссылка на принцип максимума), неприводимые многочлены над C и R.
10.11.2015Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем. Многочлен как функция. Корни многочлена, теорема Безу. Схема Горнера. Кратность неприводимого множителя
9.11.2015Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов: алгоритм Евклида, линейное выражение наибольшего общего делителя.
2.11.2015Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы.
27.10.2015Кольца, примеры колец. Делители нуля и обратимые элементы. Поля. Примеры полей. Поля вычетов. Теорема о существовании и единственности поля заданного примарного порядка. Пример: поле порядка 4. Определение поля комплексных чисел заданием операций на RxR.
26.10.2015Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия.
19.10.2015Определение группы. Обобщённая ассоциативность, единственность единичного элемента и обратного элемента (со ссылкой на доказательство для матриц). Примеры групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Группа автоморфизмов.
13.10.2015Ранг произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Строение общего решения неоднородной системы линейных уравнений и его геометрическая интерпретация.
12.10.2015Транспонирование произведения матриц. Умножение треугольных матриц. Единичная матрица, её единственность. Обратная матрица, её единственность, формула для её элементов. Матричные единицы, их умножение. Матричные единицы как база пространства матриц. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями строк (столбцов). Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
05.10.2015Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами, их основные свойства. Обобщённая ассоциативность умножения матриц.
29.09.2015Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений.
28.09.2015Определитель квадратной матрицы, его основные свойства: линейность, кососимметричность. Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель транспонированной матрицы.
21.09.2015Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность), знакопеременная группа, разложение подстановки в произведение транспозиций и независимых циклов (последнее без доказательства, если будет время, можно разобрать на семинарах).
15.09.2015Ранг матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
14.09.2015Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
07.09.2015Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .