| Дата | Содержание лекции |
| 24.11.2015 | Границы корней многочлена. Теорема Штурма. Построение стандартной системы Штурма. |
| | |
| 23.11.2015 | Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа и метод Ньютона для его построения. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей(существование) |
| | |
| 16.11.2015 | Формальная производная многочлена. Понижение кратности неприводимого множителя (корня) при дифференцировании, избавление от кратных множителей (корней). Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (доказательство - ссылка на принцип максимума), неприводимые многочлены над C и R. |
| | |
| 10.11.2015 | Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем. Многочлен как функция. Корни многочлена, теорема Безу. Схема Горнера. Кратность неприводимого множителя |
| | |
| 9.11.2015 | Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов: алгоритм Евклида, линейное выражение наибольшего общего делителя. |
| | |
| 2.11.2015 | Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы. |
| | |
| 27.10.2015 | Кольца, примеры колец. Делители нуля и обратимые элементы. Поля. Примеры полей. Поля вычетов. Теорема о существовании и единственности поля заданного примарного порядка. Пример: поле порядка 4. Определение поля комплексных чисел заданием операций на RxR. |
| | |
| 26.10.2015 | Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия. |
| | |
| 19.10.2015 | Определение группы. Обобщённая ассоциативность, единственность единичного элемента и обратного элемента (со ссылкой на доказательство для матриц). Примеры групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Группа автоморфизмов. |
| | |
| 13.10.2015 | Ранг произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Строение общего решения неоднородной системы линейных уравнений и его геометрическая интерпретация. |
| | |
| 12.10.2015 | Транспонирование произведения матриц. Умножение треугольных матриц. Единичная матрица, её единственность. Обратная матрица, её единственность, формула для её элементов. Матричные единицы, их умножение. Матричные единицы как база пространства матриц. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями строк (столбцов). Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. |
| | |
| 05.10.2015 | Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами, их основные свойства. Обобщённая ассоциативность умножения матриц. |
| | |
| 29.09.2015 | Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. |
| | |
| 28.09.2015 | Определитель квадратной матрицы, его основные свойства: линейность, кососимметричность. Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель транспонированной матрицы. |
| | |
| 21.09.2015 | Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность), знакопеременная группа, разложение подстановки в произведение транспозиций и независимых циклов (последнее без доказательства, если будет время, можно разобрать на семинарах). |
| | |
| 15.09.2015 | Ранг матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. |
| | |
| 14.09.2015 | Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов). |
| | |
| 07.09.2015 | Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса. |
| | |
| . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |