Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_3_поток_осень_2025 [09.09.2025 11:30]
markova создано
+++ лекции_1_курс_3_поток_осень_2025 [22.12.2025 11:02] (текущий)
markova
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Лекции проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) и по вторникам на 4-й паре каждой чётной (нижняя неделя в расписании) неделе (15:00-16:35) в аудитории П3 2 учебного корпуса.
+**Коллоквиумы запланированы на неделе с 27 октября.**
 -----
@@ Строка 25: / Строка 28: @@
 **Материалы:**
+**{{ ::вопросы_к_коллоквиуму_2025.pdf |Программа коллоквиума}}**
+ <color #ed1c24>NEW</color>**{{ :staff:markova:1курс3поток2025программа.pdf |Программа экзамена}}**
 **Темы лекций:**
@@ Строка 35: / Строка 41: @@
 №2 (09.09.2025) Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
-планируемые:
 №3 (15.09.2025) Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).
+№4 (22.09.2025) Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Группа подстановок конечного множества. Чётность и знак подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Знак произведения подстановок.
+№5 (23.09.2025)  Определитель квадратной матрицы, определители малых порядков. Основные свойства определителя (линейность, кососимметричность). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы.  Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель транспонированной матрицы.
+№6 (29.09.2025) Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке(столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. Миноры прямоугольной матрицы.
+№7 (06.10.2025) Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность умножения матриц.
+№8 (07.10.2025)  Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования в терминах определителя и формула вычисления элементов обратной матрицы.
+Умножение треугольных матриц. Матричные единицы и их умножение.
+№9 (13.10.2025)  Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Критерий существования в терминах ранга и нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Ранг суммы и произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матрицы ранга 1.
+№10 (20.10.2025) Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация. Алгебраические структуры. Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы.
+№11 (21.10.2025)
+Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия.
+№12 (27.10.2025) Фактор-группа. Основные алгебраические структуры: кольца. Примеры колец, построение кольца вычетов. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах.
+№13 (01.11.2025) Основные алгебраические структуры:  поля. Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра.
+№14 (10.11.2025)  Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком.
+Планируемые:
+№15 (17.11.2025) Наибольший общий делитель двух многочленов, алгоритм Евклида,  линейное выражение НОД через исходные многочлены. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов.
+№16 (18.11.2025)  Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней. Задача интерполяции.
+№17 (24.11.2025) Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (пока без доказательства, планируется дать доказательство на последней лекции). Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.