Лекции, алгебра, 1 курс, 3 поток, осень 2025 года

Лектор: Маркова Ольга Викторовна

Лекции проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) и по вторникам на 4-й паре каждой чётной (нижняя неделя в расписании) неделе (15:00-16:35) в аудитории П3 2 учебного корпуса.

Коллоквиумы запланированы на неделе с 27 октября.

Литература:

1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М., Факториал Пресс, 2002.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т.1. Основы алгебры. М., Физико-математическая литература, 2002.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1975.
4. Михалев А.А., Михалев А.В. Начала алгебры, часть 1. М., ИУИТ, 2005.

Для дальнейшего изучения различных разделов алгебры можно рекомендовать книги:

1. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. М., Наука, 1990.
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М., Наука, 1976.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 2004.
4. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

Материалы:

Программа коллоквиума

Темы лекций:

№1 (08.09.2025) Общая структура курса. Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому и улучшенному ступенчатому видам. Метод Гаусса.

№2 (09.09.2025) Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).

№3 (15.09.2025) Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).

№4 (22.09.2025) Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Группа подстановок конечного множества. Чётность и знак подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Знак произведения подстановок.

№5 (23.09.2025) Определитель квадратной матрицы, определители малых порядков. Основные свойства определителя (линейность, кососимметричность). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель транспонированной матрицы.

№6 (29.09.2025) Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке(столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. Миноры прямоугольной матрицы.

№7 (06.10.2025) Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность умножения матриц.

№8 (07.10.2025) Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования в терминах определителя и формула вычисления элементов обратной матрицы. Умножение треугольных матриц. Матричные единицы и их умножение.

№9 (13.10.2025) Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Критерий существования в терминах ранга и нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Ранг суммы и произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матрицы ранга 1.

№10 (20.10.2025) Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация. Алгебраические структуры. Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы.

№11 (21.10.2025) Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия.

№12 (27.10.2025) Фактор-группа. Основные алгебраические структуры: кольца. Примеры колец, построение кольца вычетов. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах.

№13 (01.11.2025) Основные алгебраические структуры: поля. Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра.

№14 (10.11.2025) Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком.

Планируемые:

№15 (17.11.2025) Наибольший общий делитель двух многочленов, алгоритм Евклида, линейное выражение НОД через исходные многочлены. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов.

№16 (18.11.2025) Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней. Задача интерполяции.

№17 (25.11.2024) Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (пока без доказательства, планируется дать доказательство на последней лекции). Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.