• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    лекции_2_курс_1_поток_осень_2021 [09.11.2021 16:38]
    timashev     		лекции_2_курс_1_поток_осень_2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 4: Строка 4:
      
     Лекции читаются **дистанционно** в Zoom **по вторникам** на **4**-й паре (15:00-16:35) еженедельно и **по четвергам** на **1**-й паре (9:00-10:35) на каждой //нечётной// неделе.  Лекции читаются **дистанционно** в Zoom **по вторникам** на **4**-й паре (15:00-16:35) еженедельно и **по четвергам** на **1**-й паре (9:00-10:35) на каждой //нечётной// неделе. 
    - 
    -Подключение доступно <fc #FF0000>только</fc> для авторизованных студентов. По вопросу авторизации в факультетской среде Zoom и иным техническим вопросам [[edu-support@math.msu.ru|обращайтесь]] в службу технической поддержки. 
    - 
    -== Ссылки на подключение к Zoom == 
    -  * [[https://us02web.zoom.us/j/87687241858?pwd=TWlLOUVqK3c1cGFwbEJyTDFrNUtlZz09|Вторник]] | код доступа 706038 
    -  * [[https://us02web.zoom.us/j/88361037202?pwd=cjNlTTNhQi9USUxhL0VYOERiSkRNZz09|Четверг]] | код доступа 766719 
      
     == Литература == == Литература ==
    Строка 26: Строка 20:
      
     __Гомоморфизм__ групп, примеры и простейшие свойства. Изоморфизм = биективный гомоморфизм. Изоморфные группы одинаковы по своим теоретико-групповым свойствам. Примеры изоморфных и неизоморфных групп. __Гомоморфизм__ групп, примеры и простейшие свойства. Изоморфизм = биективный гомоморфизм. Изоморфные группы одинаковы по своим теоретико-групповым свойствам. Примеры изоморфных и неизоморфных групп.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-02-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 40: Строка 36:
      
     __Образ__ Imφ и __ядро__ Kerφ гомоморфизма групп φ:G→H, их свойства, примеры. __Основная теорема о гомоморфизмах__ групп (изоморфизм между G/Kerφ и Imφ, задаваемый гомоморфизмом φ). __Образ__ Imφ и __ядро__ Kerφ гомоморфизма групп φ:G→H, их свойства, примеры. __Основная теорема о гомоморфизмах__ групп (изоморфизм между G/Kerφ и Imφ, задаваемый гомоморфизмом φ).
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-07-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 52: Строка 50:
      
     __Автоморфизмы__ групп, группа автоморфизмов Aut G, её описание для циклических групп G. __Внутренние автоморфизмы__, гомоморфизм G → Aut G, его образ — нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов Inn G, и ядро Z(G) — __центр__ группы G. Если G неабелева, то группа Inn G — не циклическая. __Автоморфизмы__ групп, группа автоморфизмов Aut G, её описание для циклических групп G. __Внутренние автоморфизмы__, гомоморфизм G → Aut G, его образ — нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов Inn G, и ядро Z(G) — __центр__ группы G. Если G неабелева, то группа Inn G — не циклическая.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-14-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 62: Строка 62:
      
     Обобщение прямого произведения (прямой суммы) групп на случай нескольких сомножителей (слагаемых). Порядок прямого произведения конечных групп. __Китайская теорема об остатках__ в классической и теоретико-групповой формулировке: **Z**_m ≅ **Z**_{m_1} ⊕ … ⊕ **Z**_{m_s} для разложения m=m_1·…·m_s в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям. Обобщение прямого произведения (прямой суммы) групп на случай нескольких сомножителей (слагаемых). Порядок прямого произведения конечных групп. __Китайская теорема об остатках__ в классической и теоретико-групповой формулировке: **Z**_m ≅ **Z**_{m_1} ⊕ … ⊕ **Z**_{m_s} для разложения m=m_1·…·m_s в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-16-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 73: Строка 75:
      
     __Конечно порождённые абелевы группы__ (в аддитивной записи), (целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. __Свободные абелевы группы__. Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов — __ранг__ группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп. __Конечно порождённые абелевы группы__ (в аддитивной записи), (целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. __Свободные абелевы группы__. Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов — __ранг__ группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-21-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 86: Строка 90:
     Структура конечно порождённых абелевых групп (//формулировка теоремы//): разложение в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп, единственность вида разложения (__ранг__ и __тип кручения__). Структура конечных абелевых групп.  Структура конечно порождённых абелевых групп (//формулировка теоремы//): разложение в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп, единственность вида разложения (__ранг__ и __тип кручения__). Структура конечных абелевых групп. 
     Примеры различных (но изоморфных) разложений данной группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических подгрупп. Примеры различных (но изоморфных) разложений данной группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических подгрупп.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-21-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 96: Строка 102:
      
     __Экспонента__ группы, проблема Бернсайда. Определение экспоненты конечной абелевой группы по её разложению в прямую сумму циклических групп, критерий цикличности конечной абелевой группы: экспонента совпадает с порядком группы. Цикличность конечной подгруппы в мультипликативной группе поля, в частности, мультипликативной группы конечного поля. __Экспонента__ группы, проблема Бернсайда. Определение экспоненты конечной абелевой группы по её разложению в прямую сумму циклических групп, критерий цикличности конечной абелевой группы: экспонента совпадает с порядком группы. Цикличность конечной подгруппы в мультипликативной группе поля, в частности, мультипликативной группы конечного поля.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-24-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 108: Строка 116:
      
     Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях). Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях).
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-28-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 122: Строка 132:
      
     __Коммутатор__ элементов группы, его свойства. __Коммутант__ (производная группа) [G,G]=G' группы G: определение, из каких элементов состоит. G абелева ⇔ [G,G]={e} ⇔ Z(G)=G. __Коммутатор__ элементов группы, его свойства. __Коммутант__ (производная группа) [G,G]=G' группы G: определение, из каких элементов состоит. G абелева ⇔ [G,G]={e} ⇔ Z(G)=G.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-09-30-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 136: Строка 148:
      
     Неразрешимость групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 или |K|≥4. Разрешимость конечных p-групп. Неразрешимость групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 или |K|≥4. Разрешимость конечных p-групп.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-10-05-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 148: Строка 162:
      
     Описание простых абелевых групп. Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(**R**). Описание простых абелевых групп. Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(**R**).
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-10-12-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 156: Строка 172:
      
     __Силовские подгруппы__, 1-я теорема Силова. 2-я теорема Силова, критерий нормальности силовской подгруппы. Действие группы сопряжениями на множестве подгрупп, __нормализатор__ подгруппы, 3-я теорема Силова. Пример: силовские подгруппы в A_5. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа, p>q: разрешимость и цикличность, если p-1 не делится на q. __Силовские подгруппы__, 1-я теорема Силова. 2-я теорема Силова, критерий нормальности силовской подгруппы. Действие группы сопряжениями на множестве подгрупп, __нормализатор__ подгруппы, 3-я теорема Силова. Пример: силовские подгруппы в A_5. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа, p>q: разрешимость и цикличность, если p-1 не делится на q.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-10-14-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 168: Строка 186:
      
     Инвариантные подпространства, подпредставления. __Приводимые__, __неприводимые__ и __вполне приводимые__ представления, примеры. Инвариантные подпространства, подпредставления. __Приводимые__, __неприводимые__ и __вполне приводимые__ представления, примеры.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-10-19-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 180: Строка 200:
      
     __Ортогональные__ и __унитарные__ представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем **R** (**С**), следствие — новое доказательство теоремы Машке над **R** и **C**. __Ортогональные__ и __унитарные__ представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем **R** (**С**), следствие — новое доказательство теоремы Машке над **R** и **C**.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-11-02-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 193: Строка 215:
     Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп. Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n. Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп. Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n.
      
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-11-09-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 11 ноября 2021 ===
     +
     +== Лекция 16 ==
     +
     +Кратность неприводимого комплексного представления R конечной группы в её (левом) регулярном представлении равна dim R. Конечность числа неприводимых комплексных представлений конечной группы G, сумма квадратов их размерностей равна |G|.
     +
     +__Матричные элементы__ линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Пример: матричные элементы регулярного представления в стандартном базисе. Матричные элементы всех неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют базис пространства **C**-значных функций на G, разложение пространства функций в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений.
     +
     +Представление группы G в пространстве функций на G сопряжениями аргумента, инвариантность пространства матричных элементов любого представления. __Центральные функции__ и __характеры__ линейных представлений. Характер неприводимого комплексного представления — единственная, с точностью до пропорциональности, центральная функция в пространстве его матричных элементов.
     +
     +Характеры неприводимых комплексных представлений образуют базис пространства центральных функций на конечной группе. Количество неприводимых комплексных представлений конечной группы G равно количеству классов сопряжённости в G.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-11-11-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 16 ноября 2021 ===
     +
     +== Лекция 17 ==
     +
     +Характер прямой суммы представлений. Эрмитова структура на пространстве **C**-значных функций на конечной группе. __Соотношения ортогональности__ для матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров. Однозначная определяемость линейного представления своим характером.
     +
     +Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. __Пример модельной задачи__ на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов?
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-11-16-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 23 ноября 2021 ===
     +
     +== Лекция 18 ==
     +
     +__Кольца__ и __алгебры__: определение, классы колец и алгебр, примеры (**Z**, **Z**_m, K[x_1,…,x_n], Mat_n(K), алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример __алгебры Ли__). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. __Структурные константы__, примеры. __Групповая алгебра__ конечной группы. __Алгебра кватернионов__ **H**, её матричная модель в Mat_2(**C**) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. __Тела__ и __алгебры с делением__.
     +
     +__Идеалы__ в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. __Факторкольца__ и __факторалгебры__.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-11-23-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 25 ноября 2021 ===
     +
     +== Лекция 19 ==
     +
     +__Гомоморфизмы__ колец и алгебр, их __ядра__ и __образы__. __Основная теорема о гомоморфизмах__ колец и алгебр.
     +
     +__Прямая сумма__ колец и алгебр (внутренняя и внешняя). __Китайская теорема об остатках__ для колец вычетов и её следствие — мультипликативное свойство и явная формула для функции Эйлера.
     +
     +__Простые__ кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем.
     +
     +Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). __Главные идеалы__, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-11-25-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 30 ноября 2021 ===
     +
     +== Лекция 20 ==
     +
     +Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. __Алгебраические__ и __трансцендентные__ элементы алгебры, __минимальный многочлен__ алгебраического элемента: примеры и свойства. __Присоединение корня__ неприводимого многочлена к полю. Расширения полей, степень расширения.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-11-30-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 7 декабря 2021 ===
     +
     +== Лекция 21 ==
     +
     +Теорема о башне расширений. Кконечно порождённые и конечные расширения полей. __Алгебраическое замыкание__ поля в его расширении. Поле (всех) __алгебраических чисел__, его мощность, существование __трансцендентных чисел__. __Поле разложения__ многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-12-07-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 9 декабря 2021 ===
     +
     +== Лекция 22 ==
     +
     +__Простые поля__, их структура, простое подполе данного поля. 
     +
     +Порядок конечного поля. __Эндоморфизм Фробениуса__. Классификация конечных полей (__полей Галуа__). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю **Z**_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов. Вложения конечных полей.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-12-09-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 14 декабря 2021 ===
     +
     +== Лекция 23 ==
     +
     +__Центр__ кольца и алгебры. __Центральные алгебры__, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. Всякое тело есть алгебра с делением над своим центром. Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. __Теорема Фробениуса__ о конечномерных алгебрах с делением над **R**. __Теорема Веддербарна__ о конечных телах.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-12-14-Timashev|Видеозапись лекции]]
    лекции_2_курс_1_поток_осень_2021.1636465082.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения