Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2022 [15.10.2022 19:17]
gordienko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2022 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
-) **03.09.2022.** Приложения алгебры в математике, физике и др. науках. Организационные моменты. Множества с бинарной операцией, полугруппы, моноиды, группы. Абелевы группы. Подгруппы. Левые и правые смежные классы. Циклические группы. Строение подгрупп в циклических группах. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна V_4, группа кватернионов Q_8, группа диэдра D_n. Гомоморфизм, эндоморфизм, изоморфизм, автоморфизм групп.
+[[https://disk.yandex.ru/i/-o0eoI6OwD5AqQ|Программа экзамена]]
+[[https://disk.yandex.ru/i/inlJFwLXysMwRg|Программа коллоквиума]]
+) **03.09.2022.** Приложения алгебры в математике, физике и др. науках. Организационные моменты. Множества с бинарной операцией, полугруппы, моноиды, группы. Абелевы группы. Подгруппы. Левые и правые смежные классы. Циклические группы. Строение подгрупп в циклических группах. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна V_4, группа кватернионов Q_8, группа диэдра D_n. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Эндоморфизм, автоморфизм группы.
 __Упражнение*:__ показать, что в определении группы достаточно требовать только существования левой единицы и левого обратного. Всё равно левый обратный окажется и правым, а левая единица - в том числе и правой, т.е. полученная алгебраическая структура будет группой.
@@ Строка 14: / Строка 18: @@
 ) **19.09.2022.** Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n, A_n, SL_n(F). Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение, доказательство ассоциативности; эквивалентность двух определений. Соотношения между порождающими.
-) **26.09.2022.** Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Свободная абелева группа: универсальное свойство (__упражнение:__ доказать единственность) и явное описание. Базис абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечнопорождённых абелевых группах. (Единственность доказать не успели.)
+) **26.09.2022.** Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Свободная абелева группа: универсальное свойство (__упражнение:__ доказать единственность) и явное описание. Базис абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых групп. (Единственность доказать не успели.)
-) **01.10.2022.** Доказательство единственности в теореме о классификации конечнопорождённых абелевых группах. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах.
+) **01.10.2022.** Доказательство единственности в теореме о классификации конечно порождённых абелевых группах. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах.
 ) **03.10.2022.** Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: S_n, GL_n, D_n. Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Нетривиальность центра конечной p-группы. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Силовские p-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали и доказали теорему А).
@@ Строка 24: / Строка 28: @@
 ) **15.10.2022.** Композиционный ряд. Теорема Жордана - Гёльдера. Теорема Шрайера. Лемма Цассенхауза о бабочке. Факторгруппа свободной группы по коммутанту является свободной абелевой группой. Инвариантность ранга свободной группы (через теорему о конечно порождённых абелевых группах).
-(продолжение следует)
+) **17.10.2022.** Классы сопряжённости в группах S_n и A_n. Простота группы A_n при n>=5. Простота группы SO_3(R).
+) **24.10.2022.** Коммутант SL_n и GL_n при n>= 3 или |F|>3. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Группа порядка p^2 абелева. Группа порядка p^k разрешима. Группа вращений куба. Сюръективный гомоморфизм S_4 -> S_3.
+) **29.10.2022.** Лемма Бернсайда. Число раскрасок сторон квадрата в n цветов. Комплекс  (необязательно абелевых) групп и его группы гомологий. Применение (ко)гомологий в топологии, геометрии и алгебре. Точная последовательность. Расширение группы. Полупрямое произведение групп. Примеры.  Критерий расщепляемости короткой точной последовательности групп.
+__Упражнение.__ Показать, что внешнее полупрямое произведение является группой.
+__Упражнение.__ Показать, что внутреннее полупрямое произведение изоморфно соответствующему внешнему полупрямому произведению.
+__Упражнение.__ Показать, что точная последовательность 0 -> V_4 -> S_4 -> S_3 -> 0 расщепляется, а
+-> Z_2 -> Q_8 -> V_4 -> 0
+и
+-> Z_4 -> Q_8 -> Z_2 -> 0
+- нет.
+) **31.10.2022.** Кручение в абелевой группе. Период группы. В любой периодической абелевой группе существует элемент, порядок которого равен периоду. Критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах периода. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Группа автоморфизмов циклической группы. Строение групп порядка pq. Линейные представления групп. Матричные представления. Гомоморфизм представлений. Изоморфизм (эквивалентность, подобие). Инвариантные подпространства и подпредставления. Неприводимые представления. Вполне приводимые представления. Свойство отщепляемости.
+) **07.11.2022.** Неприводимые представления абелевых групп и конечно порождённых абелевых групп. Двойственность по Понтрягину. Характеры представлений. Трюк Машке. Для конечномерных представлений свойство отщепляемости эквивалентно свойству полной приводимости. Теорема Машке. Лемма Шура. Соотношения ортогональности для характеров. (Пока доказали только равенство нулю.)
+) **14.11.2022.** Доказали вторую часть соотношений ортогональности. Регулярное представление, его характер. Циклические представления. Если регулярное представление вполне приводимо, то и любое конечномерное представление вполне приводимо. Центральные функции на группе, варианты задания скалярного произведения на пространстве центральных функций. Неприводимые характеры образуют ортонормированный базис в пространстве центральных функций, откуда число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости элементов группы. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы.
+) **19.11.2022.** Единственность разложения представления в прямую сумму неприводимых подпредставлений (тремя способами с разными условиями на основное поле и представление: 1) через характеры; 2) через изотипические компоненты; 3) через теорему Жордана - Гёльдера). Тензорное произведение представлений и его характер. Понятие о представлениях симметрической группы. Разбиения. Диаграммы Юнга. Мономиальное представление симметрической группы и его подпредставления.
+) **21.11.2022.** Умножение представления группы подстановок на знак подстановки. Характер (n-1)-мерного подпредставления мономиального представления. Поведение классов сопряжённости при сюръективном гомоморфизме S_4 -> S_3. Неприводимые представления групп S_2, S_3 и S_4 и таблицы их характеров. Кольцо. Кольцо с единицей. Коммутативное, ассоциативное кольцо. Подкольцо. Гомоморфизм колец. Ядро и образ гомоморфизма. Левые, правые, двухсторонние идеалы. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Канонический гомоморфизм и его ядро.
+) **26.11.2022.** Теорема о гомоморфизме колец (два варианта). __Упражнение:__ показать, что в случае гомоморфизма колец с единицей получаем гомоморфизмы колец с единицей. Теоремы об изоморфизме. Соответствие между подкольцами, левыми, правыми, двухсторонними идеалами в факторкольце и исходном кольце.  (Доказали для подколец, для всего остального - __упражнение__.) Тела (=алгебры с делением). Поля. Алгебры. Центр кольца. Ненулевое кольцо с единицей - алгебра над полем, если только если это поле лежит в центре кольца. В теле нет нетривиальных односторонних и двухсторонних идеалов. Центр тела - поле. Тело кватернионов. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей. Простое кольцо. Простота кольца квадратных матрицы над телом.
+) **28.11.2022.** Главные идеалы. Кольца главных идеалов (к.г.и.). Евклидовы кольца. Примеры. Евклидово кольцо содержит единицу и является к.г.и. Делимость в целостных кольцах с единицей, простые (=неприводимые) элементы. Связь делимости элементов и включения идеалов, простоты элементов и максимальности идеалов в к.г.и. Факторкольцо коммутативного кольца с 1 по некоторому идеалу является полем, если и только если этот идеал максимален. Расширение поля. Простое расширение. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента расширения поля неприводим. Строение простого расширения. (Сделали для трансцендентного элемента, а для алгебраического не закончили.)
+) **05.12.2022.** Строение простого расширения. (Закончили.) Построение простого расширения, в котором данный неприводимый многочлен имеет корень. Конечные расширения. Степень расширения. Теорема о башне расширений. Размерность простого расширения. Алгебраическое расширение. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле алгебраических чисел. Поле разложения многочлена, его существование и единственность. (Единственность пока не доказали.)
+) **10.12.2022.** Центральные простые алгебры. Матричная алгебра над полем - центральная простая. Единственность поля разложения многочлена. Автоморфизмы простого расширения. Простое подполе. Характеристика поля. Конечные поля, их существование и единственность. Поле GF(4).
+) **12.12.2022.** Автоморфизм Фробениуса. Группа автоморфизмов конечного поля.  Критерий вложимости одного конечного поля в другое. Конечномерные алгебры с делением над полем комплексных чисел.  Теорема Фробениуса об алгебрах с делением над полем вещественных чисел. Прямое произведение колец (прямая кольцевая сумма). __Упражнение:__ дать определение внешнего прямого произведения колец и построить изоморфизм между внутренним и внешним прямым произведениями. НОД и взаимно простые элементы в к.г.и. Лемма о делимости произведения на элемент, взаимно простой с одним из множителей. Произведение двух элементов, взаимно простых с данным элементом, также взаимно просто с ним. Китайская теорема об остатках для к.г.и.
+__Упражнение*:__ доказать факторальность к.г.и. (существование и единственность с точностью до перестановки множителей и умножения на обратимые элементы разложения любого элемента на простые множители).
+) **19.12.2022.** Нильпотентные элементы. Ниль-кольца. Нильпотентные кольца. Алгебры Ли. Примеры. Антикоммутативность в случае поля характеристики 2.
+__Упражнение:__ показать, что тождество Якоби эквивалентно правилу Лейбница.
+__Упражнение:__ вывести из правила Лейбница и антикоммутативности, что всякий одночлен степени n от элементов алгебры Ли является линейной комбинацией левонормированных длинных коммутаторов длины n.
+Понятие о группах Ли. Нильпотентные группы. Центральные ряды. Нижний центральный ряд. Верхний центральный ряд. Связь между ними. Критерий нильпотентности в терминах центральных рядов. Критерий нильпотентности в терминах факторгруппы по центру. Нильпотентность конечной p-группы.
+----
+Темы, которые мы разобрать **не успели** (их, конечно же, **нет** и в программе экзамена). Теорема Веддербёрна о конечных телах. Модули над кольцами. Неприводимые модули. Групповая алгебра и модули над ней. Полная приводимость модулей над кольцом квадратных матриц. Неприводимые модули над кольцом квадратных матриц. Теорема о строении конечно порождённых модулей над к.г.и. Приложение к теореме о приведении матрицы линейного оператора к ж.н.ф.
 __Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.