Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2022 [20.11.2022 23:29]
gordienko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2022 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 === Алгебра, 3 семестр, лекции, мехмат МГУ, 201-207 группы, осенний семестр 2022/2023 ===
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
+[[https://disk.yandex.ru/i/-o0eoI6OwD5AqQ|Программа экзамена]]
 [[https://disk.yandex.ru/i/inlJFwLXysMwRg|Программа коллоквиума]]
@@ Строка 16: / Строка 18: @@
 ) **19.09.2022.** Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n, A_n, SL_n(F). Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение, доказательство ассоциативности; эквивалентность двух определений. Соотношения между порождающими.
-) **26.09.2022.** Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Свободная абелева группа: универсальное свойство (__упражнение:__ доказать единственность) и явное описание. Базис абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых группах. (Единственность доказать не успели.)
+) **26.09.2022.** Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Свободная абелева группа: универсальное свойство (__упражнение:__ доказать единственность) и явное описание. Базис абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых групп. (Единственность доказать не успели.)
 ) **01.10.2022.** Доказательство единственности в теореме о классификации конечно порождённых абелевых группах. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах.
@@ Строка 50: / Строка 52: @@
 ) **07.11.2022.** Неприводимые представления абелевых групп и конечно порождённых абелевых групп. Двойственность по Понтрягину. Характеры представлений. Трюк Машке. Для конечномерных представлений свойство отщепляемости эквивалентно свойству полной приводимости. Теорема Машке. Лемма Шура. Соотношения ортогональности для характеров. (Пока доказали только равенство нулю.)
-) **14.11.2022.** Доказали вторую часть соотношений ортогональности. Регулярное представление, его характер. Циклические представления. Если регулярное представление вполне приводимо, то и любое конечномерное представление вполне приводимо. Центральные функции на группе, варианты задания скалярного произведения на пространстве центральных функций. Неприводимые характеры образуют ортонормированный базис в пространстве центральных функций, откуда число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости элементов группы. Сумма квадратов размерностей представлений равна порядку группы.
+) **14.11.2022.** Доказали вторую часть соотношений ортогональности. Регулярное представление, его характер. Циклические представления. Если регулярное представление вполне приводимо, то и любое конечномерное представление вполне приводимо. Центральные функции на группе, варианты задания скалярного произведения на пространстве центральных функций. Неприводимые характеры образуют ортонормированный базис в пространстве центральных функций, откуда число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости элементов группы. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы.
 ) **19.11.2022.** Единственность разложения представления в прямую сумму неприводимых подпредставлений (тремя способами с разными условиями на основное поле и представление: 1) через характеры; 2) через изотипические компоненты; 3) через теорему Жордана - Гёльдера). Тензорное произведение представлений и его характер. Понятие о представлениях симметрической группы. Разбиения. Диаграммы Юнга. Мономиальное представление симметрической группы и его подпредставления.
-(продолжение следует)
+) **21.11.2022.** Умножение представления группы подстановок на знак подстановки. Характер (n-1)-мерного подпредставления мономиального представления. Поведение классов сопряжённости при сюръективном гомоморфизме S_4 -> S_3. Неприводимые представления групп S_2, S_3 и S_4 и таблицы их характеров. Кольцо. Кольцо с единицей. Коммутативное, ассоциативное кольцо. Подкольцо. Гомоморфизм колец. Ядро и образ гомоморфизма. Левые, правые, двухсторонние идеалы. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Канонический гомоморфизм и его ядро.
+) **26.11.2022.** Теорема о гомоморфизме колец (два варианта). __Упражнение:__ показать, что в случае гомоморфизма колец с единицей получаем гомоморфизмы колец с единицей. Теоремы об изоморфизме. Соответствие между подкольцами, левыми, правыми, двухсторонними идеалами в факторкольце и исходном кольце.  (Доказали для подколец, для всего остального - __упражнение__.) Тела (=алгебры с делением). Поля. Алгебры. Центр кольца. Ненулевое кольцо с единицей - алгебра над полем, если только если это поле лежит в центре кольца. В теле нет нетривиальных односторонних и двухсторонних идеалов. Центр тела - поле. Тело кватернионов. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей. Простое кольцо. Простота кольца квадратных матрицы над телом.
+) **28.11.2022.** Главные идеалы. Кольца главных идеалов (к.г.и.). Евклидовы кольца. Примеры. Евклидово кольцо содержит единицу и является к.г.и. Делимость в целостных кольцах с единицей, простые (=неприводимые) элементы. Связь делимости элементов и включения идеалов, простоты элементов и максимальности идеалов в к.г.и. Факторкольцо коммутативного кольца с 1 по некоторому идеалу является полем, если и только если этот идеал максимален. Расширение поля. Простое расширение. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента расширения поля неприводим. Строение простого расширения. (Сделали для трансцендентного элемента, а для алгебраического не закончили.)
+) **05.12.2022.** Строение простого расширения. (Закончили.) Построение простого расширения, в котором данный неприводимый многочлен имеет корень. Конечные расширения. Степень расширения. Теорема о башне расширений. Размерность простого расширения. Алгебраическое расширение. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле алгебраических чисел. Поле разложения многочлена, его существование и единственность. (Единственность пока не доказали.)
+) **10.12.2022.** Центральные простые алгебры. Матричная алгебра над полем - центральная простая. Единственность поля разложения многочлена. Автоморфизмы простого расширения. Простое подполе. Характеристика поля. Конечные поля, их существование и единственность. Поле GF(4).
+) **12.12.2022.** Автоморфизм Фробениуса. Группа автоморфизмов конечного поля.  Критерий вложимости одного конечного поля в другое. Конечномерные алгебры с делением над полем комплексных чисел.  Теорема Фробениуса об алгебрах с делением над полем вещественных чисел. Прямое произведение колец (прямая кольцевая сумма). __Упражнение:__ дать определение внешнего прямого произведения колец и построить изоморфизм между внутренним и внешним прямым произведениями. НОД и взаимно простые элементы в к.г.и. Лемма о делимости произведения на элемент, взаимно простой с одним из множителей. Произведение двух элементов, взаимно простых с данным элементом, также взаимно просто с ним. Китайская теорема об остатках для к.г.и.
+__Упражнение*:__ доказать факторальность к.г.и. (существование и единственность с точностью до перестановки множителей и умножения на обратимые элементы разложения любого элемента на простые множители).
+) **19.12.2022.** Нильпотентные элементы. Ниль-кольца. Нильпотентные кольца. Алгебры Ли. Примеры. Антикоммутативность в случае поля характеристики 2.
+__Упражнение:__ показать, что тождество Якоби эквивалентно правилу Лейбница.
+__Упражнение:__ вывести из правила Лейбница и антикоммутативности, что всякий одночлен степени n от элементов алгебры Ли является линейной комбинацией левонормированных длинных коммутаторов длины n.
+Понятие о группах Ли. Нильпотентные группы. Центральные ряды. Нижний центральный ряд. Верхний центральный ряд. Связь между ними. Критерий нильпотентности в терминах центральных рядов. Критерий нильпотентности в терминах факторгруппы по центру. Нильпотентность конечной p-группы.
+----
+Темы, которые мы разобрать **не успели** (их, конечно же, **нет** и в программе экзамена). Теорема Веддербёрна о конечных телах. Модули над кольцами. Неприводимые модули. Групповая алгебра и модули над ней. Полная приводимость модулей над кольцом квадратных матриц. Неприводимые модули над кольцом квадратных матриц. Теорема о строении конечно порождённых модулей над к.г.и. Приложение к теореме о приведении матрицы линейного оператора к ж.н.ф.
 __Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.