Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2022 [06.12.2022 15:18]
gordienko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2022 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 64: / Строка 64: @@
 ) **05.12.2022.** Строение простого расширения. (Закончили.) Построение простого расширения, в котором данный неприводимый многочлен имеет корень. Конечные расширения. Степень расширения. Теорема о башне расширений. Размерность простого расширения. Алгебраическое расширение. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле алгебраических чисел. Поле разложения многочлена, его существование и единственность. (Единственность пока не доказали.)
-(продолжение следует)
+) **10.12.2022.** Центральные простые алгебры. Матричная алгебра над полем - центральная простая. Единственность поля разложения многочлена. Автоморфизмы простого расширения. Простое подполе. Характеристика поля. Конечные поля, их существование и единственность. Поле GF(4).
+) **12.12.2022.** Автоморфизм Фробениуса. Группа автоморфизмов конечного поля.  Критерий вложимости одного конечного поля в другое. Конечномерные алгебры с делением над полем комплексных чисел.  Теорема Фробениуса об алгебрах с делением над полем вещественных чисел. Прямое произведение колец (прямая кольцевая сумма). __Упражнение:__ дать определение внешнего прямого произведения колец и построить изоморфизм между внутренним и внешним прямым произведениями. НОД и взаимно простые элементы в к.г.и. Лемма о делимости произведения на элемент, взаимно простой с одним из множителей. Произведение двух элементов, взаимно простых с данным элементом, также взаимно просто с ним. Китайская теорема об остатках для к.г.и.
+__Упражнение*:__ доказать факторальность к.г.и. (существование и единственность с точностью до перестановки множителей и умножения на обратимые элементы разложения любого элемента на простые множители).
+) **19.12.2022.** Нильпотентные элементы. Ниль-кольца. Нильпотентные кольца. Алгебры Ли. Примеры. Антикоммутативность в случае поля характеристики 2.
+__Упражнение:__ показать, что тождество Якоби эквивалентно правилу Лейбница.
+__Упражнение:__ вывести из правила Лейбница и антикоммутативности, что всякий одночлен степени n от элементов алгебры Ли является линейной комбинацией левонормированных длинных коммутаторов длины n.
+Понятие о группах Ли. Нильпотентные группы. Центральные ряды. Нижний центральный ряд. Верхний центральный ряд. Связь между ними. Критерий нильпотентности в терминах центральных рядов. Критерий нильпотентности в терминах факторгруппы по центру. Нильпотентность конечной p-группы.
+----
+Темы, которые мы разобрать **не успели** (их, конечно же, **нет** и в программе экзамена). Теорема Веддербёрна о конечных телах. Модули над кольцами. Неприводимые модули. Групповая алгебра и модули над ней. Полная приводимость модулей над кольцом квадратных матриц. Неприводимые модули над кольцом квадратных матриц. Теорема о строении конечно порождённых модулей над к.г.и. Приложение к теореме о приведении матрицы линейного оператора к ж.н.ф.
 __Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.