Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [01.09.2025 13:52]
klyachko
лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [13.10.2025 12:32] (текущий)
klyachko
Строка 2: Строка 2:
 **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]** **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]**
  
 +----
 +
 +== 13 октября ==
 +
 +Нетривиальность центра конечной нетривиальной пэ-группы,
 +и, более того, нетривиальность пересечения центра с любой
 +нетривиальной нормальной подгруппой.
 +Когда факторгруппа по центру циклическая?
 +Группы порядка пэ квадрат.
 +Первая теорема Силова. Существование подгруппы произвольного порядка, который является степенью простого и делит порядок группы, оставил в качестве упражнения, но обещал доказать в следующий раз.
 +
 +
 +== 6 октября ==
 +
 +Разложение конечной АГ в прямую сумму пэ-компонент.
 +Единственность разложения к.п.АГ в прямую сумму прнмарных и бесконечных циклических.
 +(Левое) действие группы на множестве, орбиты, стабилизаторы, примеры,
 +три канонических действия группы на себе. 
 +Разные орбиты не пересекаются. Длина орбиты равна индексу стабилизатора. 
 +
 +
 +
 + [[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/sk.htm|{{ http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/teaching/sk25.png?400}}]]
 +
 +== 3 октября ==
 +
 +Додоказали теорему о согласованных базисах. 
 +Теорема о строении кп АГ (единственность пока доказали только для числа бесконечных слагаем).
 +Когда прямая сумма циклических циклическая?
 +Конечные подгруппы мультипликативной группы поля.
 +Периодическая часть и пэ-компоненты АГ.
 +Сформулировали, но не доказали пока, что периодическая часть раскладывается в прямую сумму пэ-компонент.
 +
 +
 +== 29 сентября ==
 +
 +Критерий примитивности элемента САГ.
 +Упражнение: когда два элемента можно дополнить до базиса?
 +(Догадались до ответа правильного.)
 +Теорема о подгруппах к.п. САГ (о согласованных базисах):
 +доказали по модулю такого факта:
 +подгруппа в F содержит примитивный элемент тогда и только тогда, когда она не содержится ни в 2F, ни в 3F,...
 +
 +== 22 сентября ==
 +
 +Любая кп АГ изоморфна факторгруппе подходящей САГ.
 +К.п. САГ —- это прямая сумма бесконечных циклических.
 +Инвариантность ранга (два доказательства).
 +Группа автоморфизмов к.п. САГ.
 +Когда набор элементов САГ, заданных координатами,
 +является базисом?
 +Примитивные элементы.
 +Критерий примитивности (в терминах координат)
 +только сформулировали пока.
 +
 +
 +
 +== 19 сентября ==
 +
 +Группа внешних автоморфизмов.
 +Примеров вычисления групп автоморфизмов почти не было
 +(только группа автоморфизмов бесконечной циклической была). Упражнения 1: Aut, Inn и Out для $D_4$ —- **рекомендую разобрать на семинарах**.
 +Упражнение 2 с многими звёздочками: Все автоморфизмы симметрических групп, кроме $S_6$, внутренние.
 +Любая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего факториал индекса исходной подгруппы).
 +Прямые произведения: внутреннее и внешнее определение и
 +связь между ними.
 +Факторизация прямого произведения по прямому 
 +произведению подгрупп сомножителей.
 +Базис абелевой группы, свободные АГ (пока было только по одному примеру свободной и несврбодной).
 + 
 +
 +== 15 сентября ==
 +
 +Факторгруппа, канонический гомоморфизм,
 +нормальные подгруппы —- это в точности ядра всевозможных гомоморфизмов. Основная теорема о гомоморфизмах, примеры.
 +Группа внутренних автоморфизмов изоморфна факторгруппе по центру. Нормальность подгруппы внутренних автоморфизмов.
 +
 +== 8 сентября ==
 +
 +Порядок элемента делит порядок группы.
 +Классификация групп порядка семнадцать.
 +Подгруппы циклических групп циклические.
 +Описание подгрупп циклических групп 
 +(обратная теорема Лагранжа).
 +Упражнение: в знакопеременной группе порядка 12 нет подгрупп порядка 6.
 +Гомоморфизмы, ядро и образ —- подгруппы.
 +Нормальные подгруппы, нормальность ядра.
 +
 +
 +== 5 сентября ==
 +
 +Подгруппы —- необходимые и достаточные условия.
 +Примеры. Теорема Лагранжа. Индекс. Классификация циклических групп. Порядок элемента равен порядку подгруппы, им порождённой.
    
 == 1 сентября == == 1 сентября ==
Строка 8: Строка 101:
 Вспомнили определение группы. Примеры, включая группу кватернионов. Геометрическое и алгебраическое описание диэдральной группы.  Вспомнили определение группы. Примеры, включая группу кватернионов. Геометрическое и алгебраическое описание диэдральной группы. 
 Упражнение: центр группы диэдра; Упражнение: центр группы диэдра;
-изоморфна ли группа кватернионов диэдральной группе. +изоморфна ли группа кватернионов диэдральной группе? 
-Группы изометрий чего угодно и группы симметрий чего угодно. Понятие изоморфизма и пример (аддитивная группа вычетов и группа корней из единицы).+Группы изометрий чего угодно и группы симметрий чего угодно 
 +(и группа автоморфизмов группы). Понятие изоморфизма и пример (аддитивная группа вычетов и группа корней из единицы).