Клячко

Всякое конечное расширение конечного поля простое. То же верно для полей нулевой характеристик, но это оставил в качестве трудного упражнения. Пример конечного непростого расширения (доказательство оставил в качестве упражнения). Автоморфизы конечных полей и подполя конечных полей: полное описание. Представления: определения, примеры, изоморфизм, прямая сумма.

Поле разложения: существование и единственность, примеры. Классификация конечных полей. Упражнение (которое я обещал решить в следующий раз): конечное поле является простым расширением простого подполя (и, стало быть, есть неприводимые многочлены всех степеней).

Теорему о строении простых расширений додоказали. Алгебраичность конечномерных расширений. Присоединение корня многочлена. Теорема о башне расширений. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле алгебраических чисел (является полем и) алгебраически замкнуто.

Программа коллоквиума (который ожидается с 10 по 17 ноября)

Когда факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем является полем? К каким полям такая конструкция приводит над полем вещественных чисел? Упражнение: $\mathbb R[x]/(x^2-1)\mathbb R[x]$ изоморфно…. Явный вид поля из восьми элементов. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Теорема о строении простых расширений (недодоказали: осталось алгебраический случай рассмотреть).

Факторкольца и факторалгебры. Теорема о гомоморфмзмах. Идеалы —- это в точности ядра всевозможных гомоморфизмов. Идеалы в кольце матриц над полем (и над телом); над произвольными ассоциативными кольцами оставил в качестве упражнения. Простые кольца и алгебры. Кольца главных идеалов: кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем —- КГИ (а многочлены от двух переменных над полем и от одной переменной над $\mathbb Z$ —- нет —- это оставил как упражнение).

Додоказали простоту знакопеременных групп. Обсудили классификацию конечных простых (: без доказательства :). Теорема о соответствии подгрупп при эпиморфизмах (нормальные соответствуют нормальным и факторгруппы по ним изоморфны). Кольца, алгебры, подкольца и подалгебры. Примеры. Гомоморфизмы колец и алгебр, идеалы.

Произведение подгрупп, одна из которых нормальна. AB/A. Теорема Жордана—Гёльдера. Примеры композиционных рядов. Сопряжённость в симметрических и знакопеременных группах (в знакопеременных частично —- ненужную (для доказательства простоты) часть оставил в качестве упражнения. Простота знакопеременных групп (не успели разобрать гипотетический случай, когда нормальная подгруппа имеет период два).

Доказали, что знакопеременная группа порождается тройными циклами, а специальная линейная группа —- трансвекциями. Разрешимые группы —- замкнутость относительно подгрупп, факторгрупп и расширений. Какие симметрические группы разрешимы? Разрешимость конечных пэ-групп и группы треугольных матриц (с оценкой ступени). Простые группы (без примеров пока). Композиционный ряд —- существование для любой конечной группы.

Транзитивные действия, в которых каждый элемент имеет неподвижную точку. Покрытие группы сопряжёнными подгруппами. Коммутаторы и коммутант. Коммутант —- наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева. Коммутанты симметрической, знакопеременной и полной линейной группы (для большого поля) —- исключительные случаи оставил в качестве упражнений. Порождённость знакопеременной группы тройными циклами и специальной линейной группы трансвекциями оставил как упражнения, но обещал доказать в следующий раз. Ещё сложное упражнение: пример группы, у которой коммутант состоит не только из коммутаторов.

Существование подгруппы произвольного порядка, который является степенью простого и делит порядок группы. Вторая и третья теоремы Силова. Все пэ-подгруппы содержатся в силовских. Критерий нормальности силовской подгруппы. Нормализаторы. Теорема Кэли. Стабилизаторы точек орбиты сопряжены. Группы порядка 15 (и подобные). Лемма Бернсайда о числе орбит.

Нетривиальность центра конечной нетривиальной пэ-группы, и, более того, нетривиальность пересечения центра с любой нетривиальной нормальной подгруппой. Когда факторгруппа по центру циклическая? Группы порядка пэ квадрат. Первая теорема Силова. Существование подгруппы произвольного порядка, который является степенью простого и делит порядок группы, оставил в качестве упражнения, но обещал доказать в следующий раз.

Разложение конечной АГ в прямую сумму пэ-компонент. Единственность разложения к.п.АГ в прямую сумму прнмарных и бесконечных циклических. (Левое) действие группы на множестве, орбиты, стабилизаторы, примеры, три канонических действия группы на себе. Разные орбиты не пересекаются. Длина орбиты равна индексу стабилизатора.

Додоказали теорему о согласованных базисах. Теорема о строении кп АГ (единственность пока доказали только для числа бесконечных слагаем). Когда прямая сумма циклических циклическая? Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. Периодическая часть и пэ-компоненты АГ. Сформулировали, но не доказали пока, что периодическая часть раскладывается в прямую сумму пэ-компонент.

Критерий примитивности элемента САГ. Упражнение: когда два элемента можно дополнить до базиса? (Догадались до ответа правильного.) Теорема о подгруппах к.п. САГ (о согласованных базисах): доказали по модулю такого факта: подгруппа в F содержит примитивный элемент тогда и только тогда, когда она не содержится ни в 2F, ни в 3F,…

Любая кп АГ изоморфна факторгруппе подходящей САГ. К.п. САГ —- это прямая сумма бесконечных циклических. Инвариантность ранга (два доказательства). Группа автоморфизмов к.п. САГ. Когда набор элементов САГ, заданных координатами, является базисом? Примитивные элементы. Критерий примитивности (в терминах координат) только сформулировали пока.

Группа внешних автоморфизмов. Примеров вычисления групп автоморфизмов почти не было (только группа автоморфизмов бесконечной циклической была). Упражнения 1: Aut, Inn и Out для $D_4$ —- рекомендую разобрать на семинарах. Упражнение 2 с многими звёздочками: Все автоморфизмы симметрических групп, кроме $S_6$, внутренние. Любая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего факториал индекса исходной подгруппы). Прямые произведения: внутреннее и внешнее определение и связь между ними. Факторизация прямого произведения по прямому произведению подгрупп сомножителей. Базис абелевой группы, свободные АГ (пока было только по одному примеру свободной и несврбодной).

Факторгруппа, канонический гомоморфизм, нормальные подгруппы —- это в точности ядра всевозможных гомоморфизмов. Основная теорема о гомоморфизмах, примеры. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна факторгруппе по центру. Нормальность подгруппы внутренних автоморфизмов.

Порядок элемента делит порядок группы. Классификация групп порядка семнадцать. Подгруппы циклических групп циклические. Описание подгрупп циклических групп (обратная теорема Лагранжа). Упражнение: в знакопеременной группе порядка 12 нет подгрупп порядка 6. Гомоморфизмы, ядро и образ —- подгруппы. Нормальные подгруппы, нормальность ядра.

Подгруппы —- необходимые и достаточные условия. Примеры. Теорема Лагранжа. Индекс. Классификация циклических групп. Порядок элемента равен порядку подгруппы, им порождённой.

Всех с Днём знаний! Вспомнили определение группы. Примеры, включая группу кватернионов. Геометрическое и алгебраическое описание диэдральной группы. Упражнение: центр группы диэдра; изоморфна ли группа кватернионов диэдральной группе? Группы изометрий чего угодно и группы симметрий чего угодно (и группа автоморфизмов группы). Понятие изоморфизма и пример (аддитивная группа вычетов и группа корней из единицы).