Клячко

Нетривиальность центра конечной нетривиальной пэ-группы, и, более того, нетривиальность пересечения центра с любой нетривиальной нормальной подгруппой. Когда факторгруппа по центру циклическая? Группы порядка пэ квадрат. Первая теорема Силова. Существование подгруппы произвольного порядка, который является степенью простого и делит порядок группы, оставил в качестве упражнения, но обещал доказать в следующий раз.

Разложение конечной АГ в прямую сумму пэ-компонент. Единственность разложения к.п.АГ в прямую сумму прнмарных и бесконечных циклических. (Левое) действие группы на множестве, орбиты, стабилизаторы, примеры, три канонических действия группы на себе. Разные орбиты не пересекаются. Длина орбиты равна индексу стабилизатора.

Додоказали теорему о согласованных базисах. Теорема о строении кп АГ (единственность пока доказали только для числа бесконечных слагаем). Когда прямая сумма циклических циклическая? Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. Периодическая часть и пэ-компоненты АГ. Сформулировали, но не доказали пока, что периодическая часть раскладывается в прямую сумму пэ-компонент.

Критерий примитивности элемента САГ. Упражнение: когда два элемента можно дополнить до базиса? (Догадались до ответа правильного.) Теорема о подгруппах к.п. САГ (о согласованных базисах): доказали по модулю такого факта: подгруппа в F содержит примитивный элемент тогда и только тогда, когда она не содержится ни в 2F, ни в 3F,…

Любая кп АГ изоморфна факторгруппе подходящей САГ. К.п. САГ —- это прямая сумма бесконечных циклических. Инвариантность ранга (два доказательства). Группа автоморфизмов к.п. САГ. Когда набор элементов САГ, заданных координатами, является базисом? Примитивные элементы. Критерий примитивности (в терминах координат) только сформулировали пока.

Группа внешних автоморфизмов. Примеров вычисления групп автоморфизмов почти не было (только группа автоморфизмов бесконечной циклической была). Упражнения 1: Aut, Inn и Out для $D_4$ —- рекомендую разобрать на семинарах. Упражнение 2 с многими звёздочками: Все автоморфизмы симметрических групп, кроме $S_6$, внутренние. Любая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (делящего факториал индекса исходной подгруппы). Прямые произведения: внутреннее и внешнее определение и связь между ними. Факторизация прямого произведения по прямому произведению подгрупп сомножителей. Базис абелевой группы, свободные АГ (пока было только по одному примеру свободной и несврбодной).

Факторгруппа, канонический гомоморфизм, нормальные подгруппы —- это в точности ядра всевозможных гомоморфизмов. Основная теорема о гомоморфизмах, примеры. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна факторгруппе по центру. Нормальность подгруппы внутренних автоморфизмов.

Порядок элемента делит порядок группы. Классификация групп порядка семнадцать. Подгруппы циклических групп циклические. Описание подгрупп циклических групп (обратная теорема Лагранжа). Упражнение: в знакопеременной группе порядка 12 нет подгрупп порядка 6. Гомоморфизмы, ядро и образ —- подгруппы. Нормальные подгруппы, нормальность ядра.

Подгруппы —- необходимые и достаточные условия. Примеры. Теорема Лагранжа. Индекс. Классификация циклических групп. Порядок элемента равен порядку подгруппы, им порождённой.

Всех с Днём знаний! Вспомнили определение группы. Примеры, включая группу кватернионов. Геометрическое и алгебраическое описание диэдральной группы. Упражнение: центр группы диэдра; изоморфна ли группа кватернионов диэдральной группе? Группы изометрий чего угодно и группы симметрий чего угодно (и группа автоморфизмов группы). Понятие изоморфизма и пример (аддитивная группа вычетов и группа корней из единицы).