Лекция 12 (22/10) Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Сопряженность стабилизаторов точек одной орбиты. Изоморфизм действий. Транзитивное действие изоморфно действию на множестве смежных классов. Длина орбиты конечной группы и формула Бернсайда. Конечные p-группы: нетривиальность центра и разрешимость. Факторгруппа G/Z(G) не может быть циклической. Коммутативность групп порядка p^2.

Лекция 11 (15/10) История классификации конечных простых групп. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные, свободные и эффективные действия. Ядро неэффективности. Примеры действий.

Лекция 10 (13/10) Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Простые группы. Существование композиционного ряда у конечной группы. Классификация конечных групп в два этапа: классификация простых групп и классификация расширений. Абелевы простые группы. Простота группы A_n (n\ge 5).

Лекция 9 (08/10) Коммутант группы и его основные свойства. Характеристические подгруппы. Коммутанты групп S_n, A_n, D_n, SL_n(F) и GL_n(F). Кратные коммутанты, их характеристичность и нормальность. Разрешимые группы, основные примеры и свойства. Производный ряд группы.

Лекция 8 (06/10) Экспонента конечной группы. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. Единственность разложения конечно порожденной абелевой группы. Порождающие элементы группы. Группа A_n порождена тройными циклами и парами независимых транспозиций (n>4). Порождающие группы диэдра. Группа GL_n(F) порождена элементарными матрицами, а группа SL_n(F) - элементарными матрицами первого типа. Коммутатор элементов, коммутант группы (успели только определить).

Лекция 7 (01/10) Теорема о согласованных базисах, факторгруппы свободных абелевых групп, инвариантные множители, универсальное свойство свободной абелевой группы, разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических, единственность разложения конечной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических, примеры.

Лекция 6 (24/09) Cвободные абелевы группы. Все базисы содержат одно и то же число элементов. Ранг. Матрица перехода. Подгруппа свободной абелевой группы ранга n свободна и ее ранг не превосходит n. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Лекция 5 (17/09) Факторизация по сомножителям, разложение конечной циклической группы. Абелевы группы: периодическая часть, группы без кручения, конечно порожденные и свободные абелевы группы.

Лекция 4 (15/09) Классы сопряженности, централизатор элемента, формула для числа элементов в классе сопряженности, описание классов сопряженности в симметрической группе, группе GL_n(C), группе диэдра и группе кватернионов. Внешние и внутренние прямые произведения.

Лекция 3 (10/09) Теорема о гомоморфизме, примеры. Группа автоморфизмов Aut(G). Группы автоморфизмов циклических групп. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы, Int(G) = G/Z(G).

Лекция 2 (03/09) Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы и их подгруппы. Смежные классы, индекс подгруппы, теорема Лагранжа и ee пять следствий. Нормальные подгруппы, факторгруппа, теорема о гомоморфизме (успели только сформулировать).

Лекция 1 (01/09) Группы и подгруппы. Гомоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы. Основные классы групп: числовые (аддитивные и мультипликативные), вычеты, группы подстановок, группы матриц, группы симметрий, группа диэдра, группа кватернионов Q_8.