| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лин_алгебра_2022_фммф [23.05.2022 17:07]
timashev |
лин_алгебра_2022_фммф [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| Семинары проходят **по понедельникам** на **3**-й паре (13:15-14:50) и **по средам** на **2**-й паре (10:45-12:20) еженедельно а ауд. **14-13**. | Семинары проходят **по понедельникам** на **3**-й паре (13:15-14:50) и **по средам** на **2**-й паре (10:45-12:20) еженедельно а ауд. **14-13**. |
| |
| **<fc #FF0000>Объявление:</fc>** контрольная работа по темам второй половины семестра пройдёт на семинаре в среду **25 мая** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **404** 2-го учебного корпуса. | == Расписание зачётов: == |
| |
| {{:staff:timashev:colloq2.pdf|Вопросы к коллоквиуму}} | * 27 мая 2022, 9:00−13:00, ауд. 14-13 |
| | * 30 мая 2022, 10:00−14:00, ауд. 14-13 |
| | * 3 июня 2022, 10:00−14:00, ауд. 14-13 |
| | |
| | == Экзамен: == |
| | * 16 июня 2022, 10:00, ауд. 14-13 |
| | |
| | == Консультация: == |
| | * 15 июня 2022, 15:00, ауд. 13-03 |
| | |
| | {{:staff:timashev:linalg-22.pdf|Программа экзамена}} |
| |
| == Литература: == | == Литература: == |
| |
| __Изоморфизм__ векторных пространств. Любое векторное пространство размерности n<∞ над полем K изоморфно арифметическому пространству K^n. | __Изоморфизм__ векторных пространств. Любое векторное пространство размерности n<∞ над полем K изоморфно арифметическому пространству K^n. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-02-07-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. __Формула Грассмана__ для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства. | Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. __Формула Грассмана__ для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-02-09-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Преобразование координат вектора при замене базиса. Примеры подпостранств. Количество подпространств данной размерности в векторном пространстве над конечным полем. Применения формулы Грассмана. Взаминое расположение подпространств в конечномерном векторном пространстве, инварианты конфигураций подпространств. | Преобразование координат вектора при замене базиса. Примеры подпостранств. Количество подпространств данной размерности в векторном пространстве над конечным полем. Применения формулы Грассмана. Взаимное расположение подпространств в конечномерном векторном пространстве, инварианты конфигураций подпространств. |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| |
| Линейная независимость подпространств, (внутренняя) __прямая сумма__ подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые, примеры. Внешняя прямая сумма векторных пространств, её связь с внутренней прямой суммой. Размерность и базис прямой суммы подпространств. | Линейная независимость подпространств, (внутренняя) __прямая сумма__ подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые, примеры. Внешняя прямая сумма векторных пространств, её связь с внутренней прямой суммой. Размерность и базис прямой суммы подпространств. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-02-14-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Задание подпространства в конечномерном векторном пространстве однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. | __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Задание подпространства в конечномерном векторном пространстве однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-02-16-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Ядро__ и __образ__ линейного отображения. Размерность образа, __ранг__ линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. | __Ядро__ и __образ__ линейного отображения. Размерность образа, __ранг__ линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-02-21-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| Изоморфизм V/Ker(A) ≅ Im(A) для линейного отображения A пространства V, (ко)размерность ядра и образа. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений (СЛУ) в терминах линейных отображений, новые доказательства теорем о связи множеств решений СЛУ и ассоциированной ОСЛУ и размерности пространства решений ОСЛУ. | Изоморфизм V/Ker(A) ≅ Im(A) для линейного отображения A пространства V, (ко)размерность ядра и образа. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений (СЛУ) в терминах линейных отображений, новые доказательства теорем о связи множеств решений СЛУ и ассоциированной ОСЛУ и размерности пространства решений ОСЛУ. |
| |
| __Сопряжённое линейное отображение__ и его свойства: взаимодействие операции сопряжения с другими операциями на динейных отображениях, матрица сопряжённого отображения, его ядро и образ. | __Сопряжённое линейное отображение__ и его свойства: взаимодействие операции сопряжения с другими операциями на линейных отображениях, матрица сопряжённого отображения, его ядро и образ. |
| |
| __Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц. | __Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц. |
| |
| __Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности. Полная и специальная линейные группы. | __Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности. Полная и специальная линейные группы. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-02-28-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы. __Проекторы__. | __Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы. __Проекторы__. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-02-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств. | __Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-05-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем: формулировка теоремы. Формулы для количества жордановых клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера) в ЖНФ. | __Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем: формулировка теоремы. Формулы для количества жордановых клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера) в ЖНФ. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-09-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Доказательство теоремы о ЖНФ линейного оператора. __Комплексификация__ вещественных векторных пространств и вещественных линейных операторов. | Доказательство теоремы о ЖНФ линейного оператора. __Комплексификация__ вещественных векторных пространств и вещественных линейных операторов. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-14-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Минимальный многочлен__. __Теорема Гамильтона–Кэли__. Аналитические функции от линейных операторов и матриц над полем комплексных чисел. | Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Минимальный многочлен__. __Теорема Гамильтона–Кэли__. Аналитические функции от линейных операторов и матриц над полем комплексных чисел. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-16-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности. Сопряжённая билинейная функция и сопряжённое отображение. __Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. | __Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности. Сопряжённая билинейная функция и сопряжённое отображение. __Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-21-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. | __Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-23-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. | __Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-28-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__. Угол между вектором и подпространством достигается на ортогональной проекции вектора. | Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__. Угол между вектором и подпространством достигается на ортогональной проекции вектора. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-03-30-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры. Определитель ортогонального оператора. Ортогональные группы: полная и специальная. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. | __Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры. Определитель ортогонального оператора. Ортогональные группы: полная и специальная. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-04-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Коллоквиум == | == Коллоквиум == |
| |
| __Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве. | __Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-06-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Контрольная работа == | == Контрольная работа == |
| |
| Канонический вид кососимметрической билинейной функции, чётность её ранга. | Канонический вид кососимметрической билинейной функции, чётность её ранга. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-11-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Комплексно сопряжённое векторное пространство. __Полулинейные функции__ на комплексном векторном пространстве. | Комплексно сопряжённое векторное пространство. __Полулинейные функции__ на комплексном векторном пространстве. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-13-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и полуторалинейными функциями на эрмитовом пространстве. __Эрмитово сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе. __Унитарные__, __эрмитовы__ и __косоэрмитовы операторы__, их матрицы в ортонормированном базисе. __Нормальные операторы__, их канонический вид. | Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и полуторалинейными функциями на эрмитовом пространстве. __Эрмитово сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе. __Унитарные__, __эрмитовы__ и __косоэрмитовы операторы__, их матрицы в ортонормированном базисе. __Нормальные операторы__, их канонический вид. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-18-Timashev-1|Видеозапись лекции]] (без 5 минут в начале) |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Аффинные пространства__: определение, примеры. Векторизация аффинного пространства, его размерность. __Реперы__ и системы координат в аффинном пространстве, преобразование координат при замене репера. __Плоскости__ в аффинном пространстве, способы их задания: с помощью опорной точки и направляющего подпространства, как __аффинной оболочки__ множества точек, с помощью системы линейных уравнений. | __Аффинные пространства__: определение, примеры. Векторизация аффинного пространства, его размерность. __Реперы__ и системы координат в аффинном пространстве, преобразование координат при замене репера. __Плоскости__ в аффинном пространстве, способы их задания: с помощью опорной точки и направляющего подпространства, как __аффинной оболочки__ множества точек, с помощью системы линейных уравнений. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-20-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Евклидовы аффинные пространства__, ортогональные системы координат. Расстояние между точками в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между плоскостями, формула для расстояния от точки до плоскости в терминах определителей Грама. | __Евклидовы аффинные пространства__, ортогональные системы координат. Расстояние между точками в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между плоскостями, формула для расстояния от точки до плоскости в терминах определителей Грама. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-25-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Группа Aff(S) аффинных преобразований аффинного пространства (S,V), подгруппы паралллельных переносов Tran(S) ≅ V и преобразований, сохраняющих начало отсчёта o ∈ S (изоморфна GL(V)). Разложение аффинного преобразования в композицию параллельного переноса и преобразования, сохраняющего начало отсчёта. | Группа Aff(S) аффинных преобразований аффинного пространства (S,V), подгруппы паралллельных переносов Tran(S) ≅ V и преобразований, сохраняющих начало отсчёта o ∈ S (изоморфна GL(V)). Разложение аффинного преобразования в композицию параллельного переноса и преобразования, сохраняющего начало отсчёта. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-04-27-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Квадратичные функции на аффинном пространстве, их запись в координатах. Расширенная матрица квадратичной функции, её преобразование при замене координат. | Квадратичные функции на аффинном пространстве, их запись в координатах. Расширенная матрица квадратичной функции, её преобразование при замене координат. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-05-04-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Центр__ квадратичной функции. Приведение квадратичной функции на аффинном пространстве к каноническому виду, к нормальному виду и к главным осям. __Квадратичные гиперповерхности__ (__квадрики__) в аффинном пространстве. Единственность (с точностью до пропорциональности) уравнения, задающего квадрику (//формулировка теоремы//). Центр симметрии квадрики. Канонический вид уравнения, задающего квадрику; типы квадрик. | __Центр__ квадратичной функции. Приведение квадратичной функции на аффинном пространстве к каноническому виду, к нормальному виду и к главным осям. __Квадратичные гиперповерхности__ (__квадрики__) в аффинном пространстве. Единственность (с точностью до пропорциональности) уравнения, задающего квадрику (//формулировка теоремы//). Центр симметрии квадрики. Канонический вид уравнения, задающего квадрику; типы квадрик. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-05-11-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность, __компоненты__ тензора. Правило Эйнштейна. | __Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность, __компоненты__ тензора. Правило Эйнштейна. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-05-16-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Свёртка__ тензоров: определение и примеры (спаривание векторов и ковекторов, значение тензора на наборе векторов и ковекторов, след линейного оператора, применение линейного оператора к вектору и произведение линейных операторов). Подъём и опускание индексов у тензоров. | __Свёртка__ тензоров: определение и примеры (спаривание векторов и ковекторов, значение тензора на наборе векторов и ковекторов, след линейного оператора, применение линейного оператора к вектору и произведение линейных операторов). Подъём и опускание индексов у тензоров. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-05-18-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| __Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение векторов и ковекторов, его связь с определителями. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной степени. Критерии линейной независимости набора векторов и принадлежности вектора подпространству в терминах внешнего умножения. Соответствие между подпространствами и вполне разложимыми поливекторами. | __Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение векторов и ковекторов, его связь с определителями. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной степени. Критерии линейной независимости набора векторов и принадлежности вектора подпространству в терминах внешнего умножения. Соответствие между подпространствами и вполне разложимыми поливекторами. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2022-05-23-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| == Семинар == | == Семинар == |
| * 37.33авг, 48.13, 48.14, 48.15, 48.16. | * 37.33авг, 48.13, 48.14, 48.15, 48.16. |
| |
| | ---- |
| | |
| | === 25 мая 2022 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант//); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант//). |
| | - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант//); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант//). |
| | - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к главным осям. |
| | - Определение типа движения плоскости (//1 вариант//) и пространства (//2 вариант//) и его полное геометрическое описание. |
| | - Полярное разложение невырожденного линейного оператора. |
