• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    ли_2023_фммф [28.04.2023 23:41]
    timashev     		ли_2023_фммф [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 7: Строка 7:
     Семинары проходят **по пятницам** на **2**-й паре (10:45-12:20) а ауд. **15-03**. Семинары проходят **по пятницам** на **2**-й паре (10:45-12:20) а ауд. **15-03**.
      
    -<fc #FF0000>**Объявления:**</fc>+== Экзамен: == 
     +  * 7 июня 2023, 10:00, ауд. 13-02
      
    -  * **19.04** и **17.05** вместо лекции по курсу «//Основы теории Ли//» будет вторая лекция по курсу «//Геометрия − 5//», а **26.04** и **03.05** вместо лекции по курсу «//Геометрия − 5//» (2 пара, 10:45-12:20) будет вторая лекция по курсу «//Основы теории Ли//». +== Консультация: == 
    -  * **21.04** вместо семинара будет лекция.+  * 6 июня 2023, 13:00, ауд. 13-02 
     + 
     +{{:staff:timashev:lie-23-spring.pdf|Программа экзамена}}
      
     == Литература: == == Литература: ==
    Строка 24: Строка 27:
      
     __Группы Ли__ (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. __Прямое произведение__ групп Ли. __Подгруппы Ли__, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. __Группы Ли__ (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. __Прямое произведение__ групп Ли. __Подгруппы Ли__, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-02-08-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 41: Строка 46:
     == Лекция 2 == == Лекция 2 ==
      
    -Компоненты связности группы Ли, связная компонентв единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(**R**). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.+Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(**R**). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.
      
     Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (//напоминание//): __касательные векторы__ и касательные пространства, __дифференциалы__ отображений, __векторные поля__. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, __фазовые кривые__ и __фазовые потоки__. Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (//напоминание//): __касательные векторы__ и касательные пространства, __дифференциалы__ отображений, __векторные поля__. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, __фазовые кривые__ и __фазовые потоки__.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-02-15-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 62: Строка 69:
      
     Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). __Производная Ли__ вдоль векторного поля. __Коммутатор__ векторных полей. __Правоинвариантные__ векторные поля и __алгебра Ли__ группы Ли G. Структура алгебры Ли на касательном пространстве в единице, пример: G = GL_n. Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). __Производная Ли__ вдоль векторного поля. __Коммутатор__ векторных полей. __Правоинвариантные__ векторные поля и __алгебра Ли__ группы Ли G. Структура алгебры Ли на касательном пространстве в единице, пример: G = GL_n.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-02-22-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 70: Строка 79:
      
     Фазовые потоки правоинвариантных векторных полей и __однопараметрические подгруппы__ в группах Ли. __Экспоненциальное отображение__, его свойства. Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы, одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в этих координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение алгебр Ли этих подгрупп. Фазовые потоки правоинвариантных векторных полей и __однопараметрические подгруппы__ в группах Ли. __Экспоненциальное отображение__, его свойства. Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы, одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в этих координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение алгебр Ли этих подгрупп.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-01-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 97: Строка 108:
     == Лекция 5 == == Лекция 5 ==
      
    -__Гомоморфизмы групп Ли__. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм алгебр Ли. __Функтор Ли__. Связь гомоморфзима групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфзима связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфзима групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Плотная обмотка тора. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли. __Линейные представления групп Ли__ и их дифференциалы — линейные представления алгебр Ли. __Присоединённое представление__.+__Гомоморфизмы групп Ли__. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм алгебр Ли. __Функтор Ли__. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Плотная обмотка тора. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли. __Линейные представления групп Ли__ и их дифференциалы — линейные представления алгебр Ли. __Присоединённое представление__. 
     + 
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-15-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 116: Строка 129:
      
     Дифференциал присоединённого представления группы Ли есть присоединённое представление её касательной алгебры Ли. Формула Ad • exp = exp • ad. Если элементы алгебры Ли коммутируют, то их экспоненты коммутируют. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли. Дифференциал присоединённого представления группы Ли есть присоединённое представление её касательной алгебры Ли. Формула Ad • exp = exp • ad. Если элементы алгебры Ли коммутируют, то их экспоненты коммутируют. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-22-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 123: Строка 138:
     == Семинар == == Семинар ==
      
    -Структура экспоненциалльного отображения и однопараметрическиз подгрупп для SL_2(**R**). Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли.+Структура экспоненциалльного отображения и однопараметрических подгрупп для SL_2(**R**). Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли.
      
     {{:staff:timashev:Lie-6.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:Lie-6.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 134: Строка 149:
      
     Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли. Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-29-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 152: Строка 169:
      
     Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением. Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-05-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 169: Строка 188:
     == Лекция 9 == == Лекция 9 ==
      
    -Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных класслв G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H.+Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H. 
     + 
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-12-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 190: Строка 211:
      
     Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли. Описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли. Описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-21-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 200: Строка 223:
      
     __Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. __Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-26-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 210: Строка 235:
      
     __Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом. Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли. __Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом. Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-26-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 218: Строка 245:
      
     Вторая гомотопическая группа. Точная гомотопическая последовательность расслоения группы Ли над однородным многообразием. Вычисление фундаментальной группы у GL_n(**C**). Вторая гомотопическая группа. Точная гомотопическая последовательность расслоения группы Ли над однородным многообразием. Вычисление фундаментальной группы у GL_n(**C**).
     +
     +{{:staff:timashev:Lie-10.pdf|Домашнее задание}}
     +
     +----
     +
     +=== 3 мая 2023 ===
     +
     +== Лекция 13 ==
     +
     +__Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Пример: коммутант группы GL_n. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-03-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 3 мая 2023 ===
     +
     +== Лекция 14 ==
     +
     +__Теоремы Ли и Энгеля__, их следствия: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли и разрешимых алгебр Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-03-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 5 мая 2023 ===
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Вычисление фундаментальной группы у SO_n(**R**). Спинорная группа. Односвязная накрывающая группы Ли SL_2(**R**) не является линейной группой Ли.
     +
     +{{:staff:timashev:Lie-11.pdf|Домашнее задание}}
     +
     +----
     +
     +=== 10 мая 2023 ===
     +
     +== Лекция 15 ==
     +
     +__Полупростые__ алгебры Ли и группы Ли. __Инвариантные скалярные умножения__ на алгебрах Ли, примеры: __стандартное скалярное умножение__ на линейной алгебре Ли, __форма Киллинга__. Критерий разрешимости и необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. __Критерий Картана__ разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-10-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 12 мая 2023 ===
     +
     +== Лекция 16 ==
     +
     +Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. __Теорема Вейля__ о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-12-Timashev|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 19 мая 2023 ===
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Spin_6(**R**) ≅ SU_4(**C**). Простота алгебры Ли sl_n. Вычисление формы Киллинга для алгебры Ли gl_n.
     +
     +{{:staff:timashev:Lie-12.pdf|Домашнее задание}}
     +
     +----
     +
     +=== 24 мая 2023 ===
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Теория представлений группы Ли SL_n и алгебры Ли sl_n, классификация неприводимых представлений.
     +
     +{{:staff:timashev:Lie-13.pdf|Домашнее задание}}
    ли_2023_фммф.1682714501.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения