| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
ли_2023_фммф [30.05.2023 22:14]
timashev |
ли_2023_фммф [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| == Экзамен: == | == Экзамен: == |
| * 7 июня 2023, 10:00, ауд. 13-02 | * 7 июня 2023, 10:00, ауд. 13-02 |
| | |
| | == Консультация: == |
| | * 6 июня 2023, 13:00, ауд. 13-02 |
| |
| {{:staff:timashev:lie-23-spring.pdf|Программа экзамена}} | {{:staff:timashev:lie-23-spring.pdf|Программа экзамена}} |
| |
| __Группы Ли__ (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. __Прямое произведение__ групп Ли. __Подгруппы Ли__, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. | __Группы Ли__ (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. __Прямое произведение__ групп Ли. __Подгруппы Ли__, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-02-08-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| == Лекция 2 == | == Лекция 2 == |
| |
| Компоненты связности группы Ли, связная компонентв единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(**R**). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы. | Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(**R**). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы. |
| |
| Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (//напоминание//): __касательные векторы__ и касательные пространства, __дифференциалы__ отображений, __векторные поля__. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, __фазовые кривые__ и __фазовые потоки__. | Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (//напоминание//): __касательные векторы__ и касательные пространства, __дифференциалы__ отображений, __векторные поля__. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, __фазовые кривые__ и __фазовые потоки__. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-02-15-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). __Производная Ли__ вдоль векторного поля. __Коммутатор__ векторных полей. __Правоинвариантные__ векторные поля и __алгебра Ли__ группы Ли G. Структура алгебры Ли на касательном пространстве в единице, пример: G = GL_n. | Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). __Производная Ли__ вдоль векторного поля. __Коммутатор__ векторных полей. __Правоинвариантные__ векторные поля и __алгебра Ли__ группы Ли G. Структура алгебры Ли на касательном пространстве в единице, пример: G = GL_n. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-02-22-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Фазовые потоки правоинвариантных векторных полей и __однопараметрические подгруппы__ в группах Ли. __Экспоненциальное отображение__, его свойства. Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы, одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в этих координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение алгебр Ли этих подгрупп. | Фазовые потоки правоинвариантных векторных полей и __однопараметрические подгруппы__ в группах Ли. __Экспоненциальное отображение__, его свойства. Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы, одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в этих координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение алгебр Ли этих подгрупп. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-01-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| == Лекция 5 == | == Лекция 5 == |
| |
| __Гомоморфизмы групп Ли__. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм алгебр Ли. __Функтор Ли__. Связь гомоморфзима групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфзима связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфзима групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Плотная обмотка тора. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли. __Линейные представления групп Ли__ и их дифференциалы — линейные представления алгебр Ли. __Присоединённое представление__. | __Гомоморфизмы групп Ли__. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм алгебр Ли. __Функтор Ли__. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Плотная обмотка тора. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли. __Линейные представления групп Ли__ и их дифференциалы — линейные представления алгебр Ли. __Присоединённое представление__. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-15-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Дифференциал присоединённого представления группы Ли есть присоединённое представление её касательной алгебры Ли. Формула Ad • exp = exp • ad. Если элементы алгебры Ли коммутируют, то их экспоненты коммутируют. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли. | Дифференциал присоединённого представления группы Ли есть присоединённое представление её касательной алгебры Ли. Формула Ad • exp = exp • ad. Если элементы алгебры Ли коммутируют, то их экспоненты коммутируют. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-22-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| == Семинар == | == Семинар == |
| |
| Структура экспоненциалльного отображения и однопараметрическиз подгрупп для SL_2(**R**). Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли. | Структура экспоненциалльного отображения и однопараметрических подгрупп для SL_2(**R**). Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли. |
| |
| {{:staff:timashev:Lie-6.pdf|Домашнее задание}} | {{:staff:timashev:Lie-6.pdf|Домашнее задание}} |
| |
| Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли. | Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-03-29-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением. | Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-05-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| == Лекция 9 == | == Лекция 9 == |
| |
| Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных класслв G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H. | Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-12-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли. Описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. | Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли. Описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-21-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. | __Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-26-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом. Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли. | __Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом. Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-04-26-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Пример: коммутант группы GL_n. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. | __Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Пример: коммутант группы GL_n. __Разрешимые__ группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-03-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Теоремы Ли и Энгеля__, их следствия: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли и разрешимых алгебр Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений. | __Теоремы Ли и Энгеля__, их следствия: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли и разрешимых алгебр Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-03-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Полупростые__ алгебры Ли и группы Ли. __Инвариантные скалярные умножения__ на алгебрах Ли, примеры: __стандартное скалярное умножение__ на линейной алгебре Ли, __форма Киллинга__. Критерий разрешимости и необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. __Критерий Картана__ разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга. | __Полупростые__ алгебры Ли и группы Ли. __Инвариантные скалярные умножения__ на алгебрах Ли, примеры: __стандартное скалярное умножение__ на линейной алгебре Ли, __форма Киллинга__. Критерий разрешимости и необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. __Критерий Картана__ разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-10-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. __Теорема Вейля__ о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли. | Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. __Теорема Вейля__ о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2023-05-12-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
