| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_102_группа_осень_2016 [15.11.2016 13:45]
timashev |
семинары_102_группа_осень_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| |
| Занятия проходят **по средам** на каждой //чётной// неделе на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **454** и **по пятницам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **454**. | Занятия проходят **по средам** на каждой //чётной// неделе на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **454** и **по пятницам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **454**. |
| |
| <fc #FF0000>**Замена занятий:**</fc> в среду **2 ноября** вместо семинара по алгебре пройдёт семинар по аналитической геометрии. В понедельник **14 ноября** вместо семинара по аналитической геометрии на **4**-й паре (15:00-16:35) в ауд. **405** пройдёт семинар по алгебре. | |
| |
| <fc #FF0000>**Контрольная по алгебре**</fc> (по темам, входящим в программу коллоквиума) пройдёт на семинаре в пятницу **11 ноября**. | |
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| ---- | ---- |
| |
| === 11 ноября 2015 === | === 11 ноября 2016 === |
| |
| == Контрольная работа == | == Контрольная работа == |
| * ★ доказать, что для любых a∈**Z** и m∈**N** последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m. | * ★ доказать, что для любых a∈**Z** и m∈**N** последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m. |
| * доказать, что символ Лежандра элемента a∈**Z**_p равен знаку подстановки на множестве **Z**_p\{0}, задаваемой умножением на a. | * доказать, что символ Лежандра элемента a∈**Z**_p равен знаку подстановки на множестве **Z**_p\{0}, задаваемой умножением на a. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 ноября 2016 === |
| | |
| | Поле комплексных чисел. Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон). |
| | |
| | Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, формула Муавра, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г; |
| | * доказать с помощью комплексных чисел //теорему Птолемея//: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 18 ноября 2016 === |
| | |
| | Извлечение корней из комплексных чисел. Задача: вычислить cos(2π/5) в радикалах с помощью комплексных корней 5-й степени из 1. Группа **U**_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 22.7ипр, 22.8г, 22.9бв, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2бв. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 25 ноября 2016 === |
| | |
| | Многочлены от одной переменной над полем K: деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.7бв, 26.11★, 25.2вг; |
| | * найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 ноября 2016 === |
| | |
| | Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полем **C**. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 25.3б, 25.8б, 27.1ад, 27.5, 27.7, 27.14★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 2 декабря 2016 === |
| | |
| | Разложение многочленов на неприводимые множители над полем **R**. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. "Решето Эратосфена" для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤5 над полем **Z**_2. Над полем **Q** существуют неприводимые многочлены любой степени (пример: x^n-2). Нахождение всех рациональных корней многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 27.2бгде, 27.12, 28.23, 28.9в, 28.1в, 28.2бв; |
| | * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**_3. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 декабря 2016 === |
| | |
| | Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в **Q**[x] влечёт разложимость на множители меньшей степени в **Z**[x]. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Редукционный признак неприводимости. Разложение многочленов на неприводимые множители над **Q** с помощью редукций. Признак Эйзенштейна, неприводимость многочлена деления круга на простое число частей. |
| | |
| | Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей **C** и **R**. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 28.9абвде, 29.1бе, 29.2аги, 29.3; |
| | * разложить на неприводимые множители над полем **Q**: |
| | - 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1, |
| | - 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5, |
| | - 3x^4-x^3+5x^2+8x-7; |
| | *★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**_p. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 декабря 2016 === |
| | |
| | Симметрические многочлены, основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_3 и s_4 через элементарные симметрические многочлены. Теорема Виета. Решение симметрических систем алгебраических уравнений. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 31.9авер, 31.15, 31.21б, 31.2, 31.5, 31.6, 31.25. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 декабря 2016 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**. |
| | - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены. |
| | - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//). |
| | - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **Q**. |
| | - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//). |
| | - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены. |
